作业帮高等代数考研题设V是4维欧式空间,A是V的一个正交变换.若A没有实特征值,求证：A可分解为两个正交的二维A不变子空间的直和.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/28 06:37:01
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高等代数考研题设V是4维欧式空间,A是V的一个正交变换.若A没有实特征值,求证：A可分解为两个正交的二维A不变子空间的直和.
高等代数考研题
设V是4维欧式空间,A是V的一个正交变换.若A没有实特征值,求证：A可分解为两个正交的二维A不变子空间的直和.
高等代数考研题设V是4维欧式空间,A是V的一个正交变换.若A没有实特征值,求证：A可分解为两个正交的二维A不变子空间的直和.
感觉题目有点问题,最后应该是证明：V可分解为两个正交的二维A不变子空间的直和,否则A作为一个变换怎么分解为直和?
我得想法：
V是4维空间,则A的特征多项式为4次,又没有实特征值,从而特征多项式一定是两个实数域不可约二次多项式的乘积.
A在4维复空间内一定存在复特征值,且其虚部不为0,共轭成对,令为a1+ib1,a1-ib1,a2+ib2,a2-ib2,b1和b2都不为0,易知共轭的特征值对应的特征向量也共轭,从而,一对共轭特征值对应于两个4维实数列向量u,v,且
A(u+iv)=(a1+ib1)(u+iv),则
Au=a1u-b1v,
Av=a1v+b1u,(1)
u,v线性无关,否则令u=hv,则带入(1),可得到(h*h+1)*b1=0,这是不可能的,所以u,v线性无关
由（1）得u,v的生成子空间即为V在A下的一个不变子空间,同理可得另一个不变子空间.因为不同特征值的特征向量线性无关,从而这两个不变子空间的直和为V
这两个子空间的正交性还不知道怎么证明...