已知:如图三角形ABC中,D为AC的中点,E在AB上,AE=2BE,BD与CE相交于点P,且BP=PD,求证PC=3PE
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/19 07:32:12
已知:如图三角形ABC中,D为AC的中点,E在AB上,AE=2BE,BD与CE相交于点P,且BP=PD,求证PC=3PE
已知:如图三角形ABC中,D为AC的中点,E在AB上,AE=2BE,BD与CE相交于点P,且BP=PD,求证PC=3PE
已知:如图三角形ABC中,D为AC的中点,E在AB上,AE=2BE,BD与CE相交于点P,且BP=PD,求证PC=3PE
取AE的中点F,连接FD,
又AE=2BE,所以AF=EF=BE,
即E是BF的中点,又BP=PD
所以在三角形BFD中有FD‖=2PE
因为F为AE中点,D为AC的中点
所以在三角形AEC中有EC‖=2FD
所以EC=4PE
即PE+PC=4PE
所以PC=3PE
过D点作直线DF//CE,并与AB相交于F点,则有
在三角形AEC中,DF为其中位线,即 DF=0.5EC
因为D未AC中点,所以F是AE的中点,即AF=EF
又AE=2BE,所以 BE=EF=AF
所以E是BF的中点
所以 在三角形BDF中,EP为中位线,即EP=0.5DF
所以 EC=4EP
所以 PC=3PE
连接A、P,在三角形BCD中,因为BP=PD,则三角形BPC和CPD面积相等,设三角形BPC面积为X,则三角形CPD面积也是X。在三角形APC中,因为AD=CD,所以面积CPD和APD相等,三角形APD面积也是X。在三角形ABD中因为BP=PD,故面积APD和APB相等,三角形APB面积也是X。在三角形APB中,因为AE=2BE,故三角形BPE面积为X/3,三角形BPE和三角形BPC面积之比,就是...
全部展开
连接A、P,在三角形BCD中,因为BP=PD,则三角形BPC和CPD面积相等,设三角形BPC面积为X,则三角形CPD面积也是X。在三角形APC中,因为AD=CD,所以面积CPD和APD相等,三角形APD面积也是X。在三角形ABD中因为BP=PD,故面积APD和APB相等,三角形APB面积也是X。在三角形APB中,因为AE=2BE,故三角形BPE面积为X/3,三角形BPE和三角形BPC面积之比,就是EP和PC长度之比,也就是1/3.所以PC=3PE
收起
因为D为AC的中点,所以S△BAD=S△BCD=1/2S△ABC
同理,因为BP=PD,所以S△BCP=S△DCP
所以S△BCP=1/4S△ABC
因为AE=2BE 即BE=1/3AB,所以S△BCE=1/3S△ABC
所以S△BPE=1/12S△ABC
所以PC/PE=S△BCP/S△BPE=3,即PC=3PE