作业帮Rt△ABC中,角ACB=90度,角ABC的平分线BD交AC于点D,CH⊥AB交BD于F,DE⊥AB于E,四边形CDEF是菱形吗?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/07/03 12:38:39
Rt△ABC中,角ACB=90度,角ABC的平分线BD交AC于点D,CH⊥AB交BD于F,DE⊥AB于E,四边形CDEF是菱形吗?
Rt△ABC中,角ACB=90度,角ABC的平分线BD交AC于点D,CH⊥AB交BD于F,DE⊥AB于E,四边形CDEF是菱形吗?
Rt△ABC中,角ACB=90度,角ABC的平分线BD交AC于点D,CH⊥AB交BD于F,DE⊥AB于E,四边形CDEF是菱形吗?
（1）证明：如图1所示：
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,
∴∠ABC=60°,BC=1/2 AB．
∵BD平分∠ABC,
∴∠1=∠DBA=∠A=30°．
∴DA=DB．
∵DE⊥AB于点E．
∴AE=BE=1/2 AB．
∴BC=BE．
∴△EBC是等边三角形；
（2）结论：AD=DG+DM．
证明：
如图2所示：延长ED使得DN=DM,连接MN,
∵∠ACB=90°,∠A=30°,BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,
∴∠ADE=∠BDE=60°,AD=BD,
又∵DM=DN,
∴△NDM是等边三角形,
∴MN=DM,
在△NGM和△DBM中,
∠N＝∠MDB
MN＝DM
∠NMC＝∠DMB
∴△NGM≌△DBM,
∴BD=NG=DG+DM,
∴AD=DG+DM．
（3）结论：AD=DG-DN．
证明：延长BD至H,使得DH=DN．
由（1）得DA=DB,∠A=30°．
∵DE⊥AB于点E．
∴∠2=∠3=60°．
∴∠4=∠5=60°．
∴△NDH是等边三角形．
∴NH=ND,∠H=∠6=60°．
∴∠H=∠2．
∵∠BNG=60°,
∴∠BNG+∠7=∠6+∠7．
即∠DNG=∠HNB．
在△DNG和△HNB中,
DN＝HN
∠DNG＝∠HNB
∠H＝∠2
∴△DNG≌△HNB（ASA）．
∴DG=HB．
∵HB=HD+DB=ND+AD,
∴DG=ND+AD．
∴AD=DG-ND．
图可能没发得上来,请你自己画图吧,
易知DE∥CH，
∠CDB+∠CBD=∠HFB+∠HBF,且∠CBD=∠HBF,
∴∠CDB=∠CFD
∴CD=CF
又∵BD=BD ∠DCB=∠DEB ∠CBD=∠EBD
∴Rt△CBD≌Rt△EBD△
∴CD=DE 故CF=DE
∴四边形CDEF为平行四边形
又∵CD=DE,故该平行四边形为菱形
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易知DE∥CH，
∠CDB+∠CBD=∠HFB+∠HBF,且∠CBD=∠HBF,
∴∠CDB=∠CFD
∴CD=CF
又∵BD=BD ∠DCB=∠DEB ∠CBD=∠EBD
∴Rt△CBD≌Rt△EBD△
∴CD=DE 故CF=DE
∴四边形CDEF为平行四边形
又∵CD=DE,故该平行四边形为菱形
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