已知圆C:X²+Y²-4X-2Y-15=0上有四个不同的点到直线L:Y=K(X-7)+6的距离等于√5,则K的取值范围是?

已知圆C:X²+Y²-4X-2Y-15=0上有四个不同的点到直线L:Y=K(X-7)+6的距离等于√5,则K的取值范围是?
已知圆C:X²+Y²-4X-2Y-15=0上有四个不同的点到直线L:Y=K(X-7)+6的距离等于√5,则K的取值范围是?

已知圆C:X²+Y²-4X-2Y-15=0上有四个不同的点到直线L:Y=K(X-7)+6的距离等于√5,则K的取值范围是?
∵圆C:X²+Y²-4X-2Y-15=0的圆心为（2,1）,半径为2√5
∴要使圆C:X²+Y²-4X-2Y-15=0上有四个不同的点到直线L:Y=K(X-7)+6的距离等于√5,必须满足
圆心（2,1）到直线L:Y=K(X-7)+6的距离小于√5
∵直线L:Y=K(X-7)+6过定点（7,6）
∴点（2,1）和点（7,6）的距离等于5√2,直线的斜率=1(与x轴夹角为45°）
∵圆心（2,1）到直线L:Y=K(X-7)+6的距离小于√5可转换直线L:Y=K(X-7)+6与点（2,1）和点（7,6）的直线夹角α正切值小于√5/√（50-5）=1/3
∴直线L与x轴夹角在（45°-α,45°+α）
由tan45°=1,tanα=1/3得
tan（45°-α）=1/2,tan（45°+α）=2
∴K的取值范围是（1/2,2）

X²+Y²-4X-2Y-15=0
(x-2)²+(y-1)²=20
圆心C的坐标（2，1），圆半径为2√5
当圆心到直线的距离小于√5时，有四个不同的点到直线的距离等于√5
d=|2k-1+6-7k|/√(k²+1)<√5
即 |5-5k|/√(k²+1)<√5
25(1-k)²<...

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X²+Y²-4X-2Y-15=0
(x-2)²+(y-1)²=20
圆心C的坐标（2，1），圆半径为2√5
当圆心到直线的距离小于√5时，有四个不同的点到直线的距离等于√5
d=|2k-1+6-7k|/√(k²+1)<√5
即 |5-5k|/√(k²+1)<√5
25(1-k)²<5(k²+1)
4k²-10k+4<0
(4k-2)(k-2)<0
得 1/2

收起

由已知X²+Y²-4X-2Y-15=0整理为（x-2)^2+(y-1)^2=20,直线kx-y-7k+6=0
作图可知，要满足题意圆心（2,1）到直线的距离d所以d=|2k-1-7k+6|/√[k^2+(-1)^2]<√5
整理得（4k-2)(k-2)<0,即1/2