若函数f(x)=(a+1)x的平方+1/bx,且f(1)=3,f(2)=9/2 (1)求a、b的值,写出f(x)的表达式(2)求证f(x)在[根号2/2,正无穷大]上是增函数
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/12 04:45:33
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若函数f(x)=(a+1)x的平方+1/bx,且f(1)=3,f(2)=9/2 (1)求a、b的值,写出f(x)的表达式(2)求证f(x)在[根号2/2,正无穷大]上是增函数
若函数f(x)=(a+1)x的平方+1/bx,且f(1)=3,f(2)=9/2 (1)求a、b的值,写出f(x)的表达式
(2)求证f(x)在[根号2/2,正无穷大]上是增函数
若函数f(x)=(a+1)x的平方+1/bx,且f(1)=3,f(2)=9/2 (1)求a、b的值,写出f(x)的表达式(2)求证f(x)在[根号2/2,正无穷大]上是增函数
(1) f(1)=3,f(2)=9/2
3=a*1²+1+1/b*1 a=2-1/b
9/2=a*(9/2)²+1/b*(9/2) 9/2a+1/b=1
9/2(2-1/b)+1/b=1
9-9/(2b)+1/b=1
-7/(2b)=-8
b=7/16
a=2-1/(7/16)=-2/7
f(x)=(-2/7+1)x²+1/(7/16)x
=5/7x²+16/7x
(2) f(x)=5/7(x²+16/5x)
=5/7(x+8/5)²-64/35
对称轴x=-8/5的右边为增函数,即单增区间:x>-8/5
∴f(x)在[√2/2,+∞)上是增函数
(1)直接代入:
(a+1)+1/b=3.................(A)
4(a+1)+1/2b=9/2...............(B)
联立AB两式,可得:a=-1/7,b=7/15
f(x)=6/7x^2+15/7x
(2)求f(x)的一阶导数,证明在[根号2/2,正无穷大)上恒大于0,即可~
f(1)=a+1+1/b=3
f(2)=4(a+1)+1/(2b)=9/2
把f(1)化成a=2-1/b代入f(2)中,
得4(2-1/b+1)+1/(2b)=9/2
可解得:b=7/15代入a=2-1/b可解得a=-1/7
所以f(x)=(6/7)x^2+15/7x