作业帮在平面内有10条直线,它们相交后最多可以把这些直线分成多少段?把平面分成几部分?越快越好 又快又准加分
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 13:35:46
在平面内有10条直线,它们相交后最多可以把这些直线分成多少段?把平面分成几部分?越快越好 又快又准加分
在平面内有10条直线,它们相交后最多可以把这些直线分成多少段?把平面分成几部分?越快越好 又快又准加分
在平面内有10条直线,它们相交后最多可以把这些直线分成多少段?把平面分成几部分?越快越好 又快又准加分
2条直有1个交点,最多把2条直线分成4部分,把平面分成4部分；
3条直线最多3个交点,最多把直线分成9部分,把平面分成7部分；
依此归纳：k条直线最多有m个交点,最多把直线分成ak个部分,把平面分成bk部分
k+1条直线是在k条的基础上增加1条,此时最多增加k个交点,最多把直线多分出(k+k+1)=2k+1个部分,把平面多分出k+1个部分
所以有：ak+1=ak+2k+1; bk+1=bk+k+1 .
把他们分别看成两个数列{ak},{bk}
对数列{ak}：求出通项的方法是累差法：
a3-a2=5; a4-a3=7; ,an-an-1=2n-1以上（n-2)个式子相加
于是有an-a2=5+7+9+.+(2n-1)=(n-2)[5+(2n-1)]/2=(n+2)(n-2)=n^2-4
所以an=n^2-4+a2=n^2; 所以ak=k^2
同理可得数列{bk}：b3-b2=3; b4-b3=4; ,bn-bn-1=n以上（n-2)个式子相加,于是有bn-b2=3+4+5+.+n=(n-2)[3+n]/2=(n+3)(n-2)/2
所以bn=(n+3)(n-2)/2+b2=(n^2+n+2)/2; 所以ak=(k^2+k+2)/2
当k=10时可知：a10=10^2=100; b10=(100+10+2)/2=56
所以在平面内有10条直线,它们相交后最多可以把这些直线分成100段；
把平面分成56部分
2条直线相交最多可以把这些直线分成2²=4段，把平面分成1＋1＋2=4部分。
3条直线：3²=9段，1＋1＋2＋3=7部分。
4条直线：4²=16段，1＋1＋2＋3＋4=11部分。
……，
∴10条直线相交最多可以把这些直线分成10²=100段，
把平面分成1＋1＋2＋3＋4＋……＋10=56部分。...
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2条直线相交最多可以把这些直线分成2²=4段，把平面分成1＋1＋2=4部分。
3条直线：3²=9段，1＋1＋2＋3=7部分。
4条直线：4²=16段，1＋1＋2＋3＋4=11部分。
……，
∴10条直线相交最多可以把这些直线分成10²=100段，
把平面分成1＋1＋2＋3＋4＋……＋10=56部分。
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