已知函数f(x)=x²+ax+b,且对任意的实数x都有f(x+1)=f(1-x)成立,求实数a的值

已知函数f(x)=x²+ax+b,且对任意的实数x都有f(x+1)=f(1-x)成立,求实数a的值
已知函数f(x)=x²+ax+b,且对任意的实数x都有f(x+1)=f(1-x)成立,求实数a的值

已知函数f(x)=x²+ax+b,且对任意的实数x都有f(x+1)=f(1-x)成立,求实数a的值
f(1+x)=(1+x)^2+a(1+x)+b
f(1-x)=(1-x)^2+a(1-x)+b
所以(1+x)^2+a(1+x)+b=(1-x)^2+a(1-x)+b
1+2x+x^2+a+ax+b=1-2x+x^2+a-ax+b
(4+2a)x=0
恒成立
所以4+2a=0
a=-2

答：
f(x)=x^2+ax+b
f(x+1)=f(1-x)
所以：f(x)关于直线x=(x+1+1-x)/2=1对称
所以：对称轴x=-a/2=1，a=-2
所以：a=-2

由f(x+1)=f(1-x)可得（x+1）²+a（x+1）+b=（1-x）²+a（1-x）+b
消去左右同项后得 2x+ax=-2x-ax
得 a=-2