已知2^x=3^y=5^z且x,y,z为正数,则2x,3y,5z的大小关系为?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/15 23:49:01
已知2^x=3^y=5^z且x,y,z为正数,则2x,3y,5z的大小关系为?
已知2^x=3^y=5^z且x,y,z为正数,则2x,3y,5z的大小关系为?
已知2^x=3^y=5^z且x,y,z为正数,则2x,3y,5z的大小关系为?
lg2^x=lg3^y=lg5^z,
x*lg2=y*lg3=z*lg5,
x=ylg3/lg2,z=y*lg3/lg5,
所以2x=2ylg3/lg2,5z=5y*lg3/lg5,
比较2lg3/lg2、5lg3/lg5与3的大小.
2lg3/lg2=log2(9)与3=log2(8)
显然前者大
所以2x大于3y;
5lg3/lg5=log5(3^5)
3=log5(5^3)
再比较3^5和5^3
显然前者大,所以5z大于3y;;
接下来比较2lg3/lg2与5lg3/lg5,
2lg3/lg2=lg3/lg√2,
5lg3/lg5lg3/lg5^(1/5),
比较分数线下的两数,
显然前者大于后者,
所以2lg3/lg2小于5lg3/lg5,
最后5z>2x>3y.
2^x=3^y=5^z
同时取对数,
xlg2=ylg3=zlg5
2x=2xlg2/lg2=(2/lg2)xlg2
3y=3ylg3/lg3=(3/lg3)ylg3
5z=5zlg5/lg5=(5/lg5)zlg5
根据lgx的图像可知,
(lgx)/x随着x的增大而减小,(因为斜率逐渐减小)
所以x/lgx随着x的增大而增大,(因...
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2^x=3^y=5^z
同时取对数,
xlg2=ylg3=zlg5
2x=2xlg2/lg2=(2/lg2)xlg2
3y=3ylg3/lg3=(3/lg3)ylg3
5z=5zlg5/lg5=(5/lg5)zlg5
根据lgx的图像可知,
(lgx)/x随着x的增大而减小,(因为斜率逐渐减小)
所以x/lgx随着x的增大而增大,(因为两者是倒数关系),
所以2/lg2<3/lg3<5/lg5
又因为 xlg2=ylg3=zlg5
所以 2x<3y<5z
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