作业帮已知△ABC内接于圆O,AD平分∠BAC交圆O于D交BC于E（AD不为直径）,连BD和CD,证明：AB×AC+BD×DC=AD²
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/23 15:32:07
已知△ABC内接于圆O,AD平分∠BAC交圆O于D交BC于E（AD不为直径）,连BD和CD,证明：AB×AC+BD×DC=AD²
已知△ABC内接于圆O,AD平分∠BAC交圆O于D交BC于E（AD不为直径）,连BD和CD,证明：AB×AC+BD×DC=AD²
已知△ABC内接于圆O,AD平分∠BAC交圆O于D交BC于E（AD不为直径）,连BD和CD,证明：AB×AC+BD×DC=AD²
）∵∠3=∠1,∠adb=∠bde
∴△adb∽△bde
∴.
∴bd2=de×da
又∵∠1=∠2
∴bd=dc
∴de×da= bd× dc
∵AB*AC=AE*AD
∴AB*AC+BD*CD=AE*AD +de×da=AD×（ae+de）
∴
AB*AC+BD*CD=AD2
证明：角BAD=角DAC=角DBC
所以BD=CD，△BDE相似于△ABD
所以BD/AD=DE/BD
所以AD*DE=BD²=BD*DC
有因为角ADB=角ACE
所以△ADB相似于△ACE
所以AB/AE=AD/AC
所以AD*AE=AB*AC
所以AB*AC+BD*DC=AD*AE+AD*DE
=AD*（AC+DC）=AD²
AD平分∠BAC
∠BAD=∠CAD
又∠ABC=∠ADC
ΔABE∽ΔADC
AB/AD=AE/AC
AB×AC=AD×AE
AB×AC=AD×(AD-DE)
AB×AC=AD²-AD×DE
AB×AC+AD×DE=AD² (1)
AD平分∠BAC
∠BAD=CAD
弧BD=弧CD
全部展开
AD平分∠BAC
∠BAD=∠CAD
又∠ABC=∠ADC
ΔABE∽ΔADC
AB/AD=AE/AC
AB×AC=AD×AE
AB×AC=AD×(AD-DE)
AB×AC=AD²-AD×DE
AB×AC+AD×DE=AD² (1)
AD平分∠BAC
∠BAD=CAD
弧BD=弧CD
∠BAD=∠CBD BD=CD
∠D是公共角
ΔABD∽ΔBED
BD/DE=AD/BD
BD/DE=AD/CD
DE×AD=BD×CD (2)
(2)代入(1)
AB×AC+BD×DC=AD²
收起