如图,ABCD是边长为2a的正方形,ABEF是矩形,且二面角C—AB—F是直二面角,AF=a,G是EF的中点.(1)求证:平面AGC⊥平面BGC;(2)求GB与平面AGC所成角的正弦值;(3)求二面角B—AC—G的大小.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 21:56:55
![如图,ABCD是边长为2a的正方形,ABEF是矩形,且二面角C—AB—F是直二面角,AF=a,G是EF的中点.(1)求证:平面AGC⊥平面BGC;(2)求GB与平面AGC所成角的正弦值;(3)求二面角B—AC—G的大小.](/uploads/image/z/4353980-68-0.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2CABCD%E6%98%AF%E8%BE%B9%E9%95%BF%E4%B8%BA2a%E7%9A%84%E6%AD%A3%E6%96%B9%E5%BD%A2%2CABEF%E6%98%AF%E7%9F%A9%E5%BD%A2%2C%E4%B8%94%E4%BA%8C%E9%9D%A2%E8%A7%92C%E2%80%94AB%E2%80%94F%E6%98%AF%E7%9B%B4%E4%BA%8C%E9%9D%A2%E8%A7%92%2CAF%3Da%2CG%E6%98%AFEF%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9.%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9A%E5%B9%B3%E9%9D%A2AGC%E2%8A%A5%E5%B9%B3%E9%9D%A2BGC%EF%BC%9B%EF%BC%882%EF%BC%89%E6%B1%82GB%E4%B8%8E%E5%B9%B3%E9%9D%A2AGC%E6%89%80%E6%88%90%E8%A7%92%E7%9A%84%E6%AD%A3%E5%BC%A6%E5%80%BC%EF%BC%9B%EF%BC%883%EF%BC%89%E6%B1%82%E4%BA%8C%E9%9D%A2%E8%A7%92B%E2%80%94AC%E2%80%94G%E7%9A%84%E5%A4%A7%E5%B0%8F.)
如图,ABCD是边长为2a的正方形,ABEF是矩形,且二面角C—AB—F是直二面角,AF=a,G是EF的中点.(1)求证:平面AGC⊥平面BGC;(2)求GB与平面AGC所成角的正弦值;(3)求二面角B—AC—G的大小.
如图,ABCD是边长为2a的正方形,ABEF是矩形,且二面角C—AB—F是直二面角,AF=a,G是EF的中点.
(1)求证:平面AGC⊥平面BGC;
(2)求GB与平面AGC所成角的正弦值;
(3)求二面角B—AC—G的大小.
如图,ABCD是边长为2a的正方形,ABEF是矩形,且二面角C—AB—F是直二面角,AF=a,G是EF的中点.(1)求证:平面AGC⊥平面BGC;(2)求GB与平面AGC所成角的正弦值;(3)求二面角B—AC—G的大小.
(1)△ABG中,AB=2a,AG=BG=根号2a,所以AG²+BG²=AB²
∠AGB=90°,AG⊥BG.1
又C—AB—F是直二面角,所以CB⊥平面ABEF,也就是CD⊥平面ABG,
所以,CB⊥AG.2
由1,2知道,AG⊥平面BGC,又AG∈平面AGC,所以:平面AGC⊥平面BGC
(2)△BGC中做直线BH⊥GC于H点,由(1)平面AGC⊥平面BGC得到:
BH⊥平面AGC,所以,∠BGH即GB与平面AGC所成的角
其正弦值就是,BH/BG.
易求出BG=根号2a,又BC=2a,∠CBG=90,可求出BH=【2*(根号3)】/3a
于是正弦值:为BH/BG=(根号6)/6
(3)取AC中点为O,连接OH.因为正方形ABCD,所以,AO⊥AC.3
又BH⊥平面AGC,BH⊥AC,.4
由3,4推出,AC⊥OH,于是二面角B-AC-G就是∠BOH
△BOH中,∠BHO=90度,
sin∠BOH=BH/BO=【2*(根号3)】/3 a除以 (根号2a)=(根号6)/6
所以:∠BOH=arcsin(根号6)/6