如图,已知直线PA交圆O于A、B两点,AE是圆O的直径,点C为圆O上一点,且AC平分∠PAE,过C作CD⊥PA,垂足为D,若DC+DA=6,圆O的直径为10,求AB的长度.

如图,已知直线PA交圆O于A、B两点,AE是圆O的直径,点C为圆O上一点,且AC平分∠PAE,过C作CD⊥PA,垂足为D,若DC+DA=6,圆O的直径为10,求AB的长度.
如图,已知直线PA交圆O于A、B两点,AE是圆O的直径,点C为圆O上一点,且AC平分∠PAE,过C作CD⊥PA,垂足为D,若DC+DA=6,圆O的直径为10,求AB的长度.

如图,已知直线PA交圆O于A、B两点,AE是圆O的直径,点C为圆O上一点,且AC平分∠PAE,过C作CD⊥PA,垂足为D,若DC+DA=6,圆O的直径为10,求AB的长度.
设DA=X,DC=6-DA=6-X,
连接EC,AE是直径,所以∠ACE=90°=∠CDA,∠CAE=∠CAD,
所以⊿ACE∽⊿ADC,[AA]
AE:AC=AC:AD
AC²=AE*AD
AD²+DC²=10*X
X²+(6-X)²=10X
X²-11X+18=0
(X-2)(X-9)=0
X1=2,X2=9>6(舍去)；
DA=X=2,DC=6-X=4;
AC²=2²+4²=20
AC=√20
CE²=AE²-AC²=10²-20=80
CE=√80=2√20;
连接EB,∠EBA=90°,EB//CD;
EC的延长线交PB于Q,∠QCD+∠ACD=90°,∠QCD=∠CAD,
⊿QDC∽⊿CDA,[AA]
QC:AC=DC:DA
QC=4*√20/2=2√20=CE=QE/2,
CD:BE=1：2
BE=2CD=2*4=8;
AB²=AE²-BE²=10²-8²=100-64=36
AB=6;

需要图才可以

连接CE.

∵ ∠DAC=∠CAE

∴ rt△DAC ～ rt△CAE...

∴ ∠DCA=∠CEA

∴ CD是切线, CD²=DA(DA+AB)

设∠DCA=α, 则

AC=10sinα, AD=10sin²α, CD=10sinα·cosα

∵ CD

全部展开

连接CE.

∵ ∠DAC=∠CAE

∴ rt△DAC ～ rt△CAE...

∴ ∠DCA=∠CEA

∴ CD是切线, CD²=DA(DA+AB)

设∠DCA=α, 则

AC=10sinα, AD=10sin²α, CD=10sinα·cosα

∵ CD²=DA(DA+AB)

∴ 10sinα·cosα·10sinα·cosα =10sin²α(10sin²α+AB)

∴ 10cos²α =  10sin²α+AB,  AB=5cos2α.

∵ DC+DA=6

∴ 10sin²α +10sinα·cosα = 6

∴ 5(1-cos2α )+5sin2α = 6, 

解出 5cos2α=3或-4(舍去)

故AB= 3.

收起

图呢？....