关于对数函数的数学题已知函数f(x)=log2（1-x）-log2(1+x)（1）求函数f（x）的定义域（2）判断f(x)的奇偶性（3）方程f(x)=x+1是否有根?如果有根x0请求出一个长度为四分之一的区间（a,b）使x0∈(a,b)

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/19 20:18:47
关于对数函数的数学题已知函数f(x)=log2（1-x）-log2(1+x)（1）求函数f（x）的定义域（2）判断f(x)的奇偶性（3）方程f(x)=x+1是否有根?如果有根x0请求出一个长度为四分之一的区间（a,b）使x0∈(a,b)
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关于对数函数的数学题已知函数f(x)=log2（1-x）-log2(1+x)（1）求函数f（x）的定义域（2）判断f(x)的奇偶性（3）方程f(x)=x+1是否有根?如果有根x0请求出一个长度为四分之一的区间（a,b）使x0∈(a,b)
关于对数函数的数学题
已知函数f(x)=log2（1-x）-log2(1+x)
（1）求函数f（x）的定义域
（2）判断f(x)的奇偶性
（3）方程f(x)=x+1是否有根?如果有根x0请求出一个长度为四分之一的区间（a,b）使x0∈(a,b)；如果没有,请说明理由.（注：区间（a,b）的长度为（b-a））

关于对数函数的数学题已知函数f(x)=log2（1-x）-log2(1+x)（1）求函数f（x）的定义域（2）判断f(x)的奇偶性（3）方程f(x)=x+1是否有根?如果有根x0请求出一个长度为四分之一的区间（a,b）使x0∈(a,b)
（1）因为f(x)=log2(1-x)-log2(1+x),为使对数有意义,令
1-x>0,1+x>0,
解之,-1<x<1.
故函数f(x)的定义域为(-1, 1).
（2）定义域关于原点对称,对任意x∈(-1, 1),
f(-x)=log2(1+x)-log2(1-x)=-f(x),
故f(x)为奇函数.
（3）
 设g(x)=f(x)-(x+1)=log2(1-x)-log2(1+x)-x-1,显然g(x)在(-1, 1)内是减函数,（单调）
    g(-1/2)=log2(3/2)-log2(1/2)-1/2=log2(3)-1/2>log2(2)-1/2=1-1/2=1/2>0,
    g(1/2)=log2(1/2)-log2(3/2)-3/2=-log2(3)-3/2<0,
    g(x)在区间[-1/2, 1/2]两端异号,由连续性,g(x)=0在区间(-1/2, 1/2)内必有实根,即方程f(x)=x+1在区间(-1/2, 1/2)内有实根x0.
    下面用折半法求x0更精确一些的区间.
    因为g(0)=-1<0,g(-1/2)*g(0)<0,所以x0在区间(-1/2, 0)内.
    g(-1/4)=log2(5/4)-log2(3/4)-3/4=log2(5/3)-3/4,因为(5/3)^4=625/81<640/80=8=2^3,所以4*log2(5/3)<3,log2(5/3)<3/4,g(-1/4)=log2(5/3)-3/4<0,g(-1/2)*g(-1/4)<0,所以x0在区间(-1/2, -1/4)内.
所以,区间(-1/2, -1/4)即为所求.
 也可以用图像法来解.
    在同一个坐标系中做出y1=f(x)=log2(1-x)-log2(1+x)的图像与y2=x+1的图像,如图所示,两者有交点,说明方程f(x)=x+1在(-1, 1)内有实数解.（有图像观察,交点的横坐标大致在-0.25附近,可取a=-3/8,b=-1/8.）由于图像法的误差大,如果不是计算机绘图,会很不准确.

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