已知定义域为r的函数f(x)对任意实数x、y都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)且f(x)≠0求证f(x)为偶数
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/15 02:51:29
![已知定义域为r的函数f(x)对任意实数x、y都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)且f(x)≠0求证f(x)为偶数](/uploads/image/z/4481154-18-4.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%9F%9F%E4%B8%BAr%E7%9A%84%E5%87%BD%E6%95%B0f%EF%BC%88x%EF%BC%89%E5%AF%B9%E4%BB%BB%E6%84%8F%E5%AE%9E%E6%95%B0x%E3%80%81y%E9%83%BD%E6%9C%89f%EF%BC%88x%EF%BC%8By%EF%BC%89%EF%BC%8Bf%EF%BC%88x%EF%BC%8Dy%EF%BC%89%EF%BC%9D2f%EF%BC%88x%EF%BC%89f%EF%BC%88y%EF%BC%89%E4%B8%94f%EF%BC%88x%EF%BC%89%E2%89%A00%E6%B1%82%E8%AF%81f%EF%BC%88x%EF%BC%89%E4%B8%BA%E5%81%B6%E6%95%B0)
已知定义域为r的函数f(x)对任意实数x、y都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)且f(x)≠0求证f(x)为偶数
已知定义域为r的函数f(x)对任意实数x、y都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)
且f(x)≠0求证f(x)为偶数
已知定义域为r的函数f(x)对任意实数x、y都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)且f(x)≠0求证f(x)为偶数
将x=0,y=0代入得f(0+0)+f(0-0)=2f(0)f(0)
即2f(0)=2f(0)²,∵f(0)≠0,∴f(0)=1
将x=0,代入得f(0+y)f(0-y)=2f(0)f(y)
即f(y)+f(-y)=2f(y)∴f(y)=f(-y)
∴f(x)是偶函数
令y=0
f(x)+f(x)=2f(x)f(0)
得f(0)=1
令x=0
f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y)
得f(-y)=f(y)
于是f(x)为偶函数
可以得出这样的结论
定义在R上的函数f(x),若f(0)≠0 且f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)
则函数f(x)是偶函数。
具体例子:
cos(0)≠0
cos(a+b)+cos(a-b)=2cosacosb
但不能推出,定义在R上的偶函数,只要f(0)≠0就一定有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)...
全部展开
可以得出这样的结论
定义在R上的函数f(x),若f(0)≠0 且f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)
则函数f(x)是偶函数。
具体例子:
cos(0)≠0
cos(a+b)+cos(a-b)=2cosacosb
但不能推出,定义在R上的偶函数,只要f(0)≠0就一定有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)
收起