已知数列{an}中,满足a1=1,an=2a(n-1)+2的n-1次方,设bn=an/2的n-1次方,(1)证明数列{bn}是等差数列(2)求数列{an}的通项公式
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/12 09:26:24
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已知数列{an}中,满足a1=1,an=2a(n-1)+2的n-1次方,设bn=an/2的n-1次方,(1)证明数列{bn}是等差数列(2)求数列{an}的通项公式
已知数列{an}中,满足a1=1,an=2a(n-1)+2的n-1次方,设bn=an/2的n-1次方,
(1)证明数列{bn}是等差数列
(2)求数列{an}的通项公式
已知数列{an}中,满足a1=1,an=2a(n-1)+2的n-1次方,设bn=an/2的n-1次方,(1)证明数列{bn}是等差数列(2)求数列{an}的通项公式
你要的答案是;
bn=an/2^(n-1)
得an=bn*2^(n-1)
a(n-1)=b(n-1)*2^(n-2)
由an=2a(n-1)+2^(n-1),
得bn*2^(n-1)=2*b(n-1)*2^(n-2)+2^(n-1)
同除以2^(n-1)得:bn=b(n-1)+1
b1=a1/2^(1-1)=a1=1
则{bn}是首项为1,公差为1的等差数列.
an=3^(n-1)+a(n-1) 两边同除以3^(n-1)
3an/3^n=1+a(n-1)/3^(n-1)
3(an/3^n-1/2)=[a(n-1)/3^(n-1)-1/2]
(an/3^n)/[a(n-1)/3^(n-1)-1/2]=1/3
所以{an/3^n-1/2}是以a1/3-1/2=-1/6为首相q=1/3为公比的等比数列
an/3^n-1/2=(-1/6)(1/3)^(n-1)
an/3^n=1/2-(1/6)(1/3)^(n-1)
=1/2-(1/6)(1/3)^(n-1)
=1/2-(1/2)(1/3)^n
=[1-(1/3)^n]/2
=[1-3^(-n)]/2
即an=(3^n-1)/2