如何证明质数集是无限集

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/20 15:17:15
如何证明质数集是无限集
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如何证明质数集是无限集
如何证明质数集是无限集

如何证明质数集是无限集
假设质数有限
则必然存在一个最大的
假设最大质数是p
则令N=2*3*5*7*……*p+1
即把所有质数相乘再加上1
则显然N>p
所以N是合数
则N至少能被一个质数整除
单数,用2,3,5,……,p去除N
结果都余1
所以N或者是质数,或者拥有大于p的质因数
但这都和p是最大质数矛盾
所以假设错误
所以质数又无数个
所以质数集是无限集

任何大于6的正整数都可以表示成3个质数的和
然后反正法，得出正整数是有限的。这与正整数是无限集悖论，所以就证明了。

假设质数有n个：z1、z2、...、zn，令M=z1z2...zn+1；因为假设有n个质数，所以M不能再是质数，那么M应是合数；根据“大于1的整数其最小因数是质数”的定理，必有一个质数z'＞1是M的最小因数，由于z1、z2、...、zn除M均余1，所以z1、z2、...、zn均除不尽M，所以z'是z1、z2、...、zn以外的又一个质数，所以“质数为n个”的假设错误，因此有无限多个质数。...

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假设质数有n个：z1、z2、...、zn，令M=z1z2...zn+1；因为假设有n个质数，所以M不能再是质数，那么M应是合数；根据“大于1的整数其最小因数是质数”的定理，必有一个质数z'＞1是M的最小因数，由于z1、z2、...、zn除M均余1，所以z1、z2、...、zn均除不尽M，所以z'是z1、z2、...、zn以外的又一个质数，所以“质数为n个”的假设错误，因此有无限多个质数。

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