作业帮如图AD为○O的直径,AT为○O的切线,BC∥AD,DB交AT于E点,过E点作要EF⊥CD交DC于F点（1）求证：角AEB=角ADC（2）探究 BD、BE、EF三者之间的数量关系,并证明（3延长CB交AE于M点,若MA=3,MB=1,求EF的长
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/28 19:35:45
如图AD为○O的直径,AT为○O的切线,BC∥AD,DB交AT于E点,过E点作要EF⊥CD交DC于F点（1）求证：角AEB=角ADC（2）探究 BD、BE、EF三者之间的数量关系,并证明（3延长CB交AE于M点,若MA=3,MB=1,求EF的长
如图AD为○O的直径,AT为○O的切线,BC∥AD,DB交AT于E点,过E点作要EF⊥CD交DC于F点
（1）求证：角AEB=角ADC
（2）探究 BD、BE、EF三者之间的数量关系,并证明
（3延长CB交AE于M点,若MA=3,MB=1,求EF的长
如图AD为○O的直径,AT为○O的切线,BC∥AD,DB交AT于E点,过E点作要EF⊥CD交DC于F点（1）求证：角AEB=角ADC（2）探究 BD、BE、EF三者之间的数量关系,并证明（3延长CB交AE于M点,若MA=3,MB=1,求EF的长
(1)证明：连接AB
因为AD是圆O的直径
所以角ABD=90度
因为角ABD+角ABE=180度
所以角ABE=90度
因为角ABE+角AEB+角BAE=180度
所以角AEB+角BAE=90度
因为AT为圆O的切线
所以角BAE+角BAD=角DAE=90度
所以角BAD=角AEB
因为AD平行BC
所以角ABC+角BAD=180度
因为角ADC+角ABC=180度
所以角ADC=角BAD
所以角AEB=角ADC
(2)BD=BE+EF
证明：连接AC,过点E作EM平行DF交AC于M
所以角AME=角EMC=90度
因为AD是圆O的直径
所以角ACD=角ABD=90度
因为角ABD+角ABE=180度
所以角ABE=90度
因为角ACD+角MCF=180度
所以角MCF=90度
因为EF垂直CD交DC的延长线于F
所以角F=90度
因为角F+角MCF+角EMC+角MEF=360度
所以角MEF=90度
所以角MEF=角F=角MCF=角EMC=90度
所以四边形EMCF是矩形
所以EF=CM
ME=CF
因为角BAD=1/2(弧BC+弧DC)
角ADC=1/2(弧BC+弧AB)
角ADC=角BAD(已证）
所以弧AB=弧DC
所以AB=DC
因为AD=AD
所以三角形BAD和三角形CDA全等（SAS)
所以AC=BD
因为AT为圆O的切线
所以角EAM=角ADC
因为角AEB=角ADC(已证）
所以角EAM=角AEB
角ABE=角AME=90度
因为AE=AE
所以三角形BAE和三角形MEA全等（AAS)
所以AM=BE
因为AC=AM+CM
所以AC=BE+EF
所以BD=BE+EF
设AC与BD相交于O
因为三角形BAE和三角形MEA全等（已证）
所以AB=ME
因为AB=DC（已证）
ME=DC
因为ME=CF（已证）
所以DC=CF
因为角ACD=角F=90度（已证）
所以AC平行EF
所以OD/OE=DC/CF
所以OD=OE=1/2DE
所以AO是直角三角形DAE的中线
所以OA=OE=OD=1/2DE
因为AT是圆O的切线
所以角BAE=角ADE
AM^2=MB*CM
角MAB=角ACM
因为角AMB=角AMB
所以三角形AMB和三角形CMA相似（AA)
所以AB/AC=AM/CM
因为AM=3 MB=1
所以MC=9
因为BC+MB=MC
所以BC=9-1=8
AB/AC=1/3
因为AC=BD
所以AB/BD=1/3
因为角DAE=角ABE=90度
所以三角形BAE和三角形ABD(AA)
所以AB/BD=BE/AB
所以AB^2=BD*BE
所以BE=1/3AB
因为DE=BD+BE
所以DE=10/3AB
所以OD=5/3AB
因为OB=BD-OD
所以OB=4/3AB
所以OB/OD=4/5
因为AD平行BC
所以角OAD=角OCB
角ODA=角OBC
所以三角形OAD和三角形OBC相似（AA)
所以AD/BC=OD/OB
所以AD=10
在直角三角形ABD中,角ABD=90度
由勾股定理得：
AD^2=AB^2+BD^2
所以AB=根号10
所以BD=3倍根号10
BE=3分之一倍根号10
因为BD=BE+EF（已证）
所以EF=3分之8倍根号10