在一圆O内,弦AB与直径MN相交于P点且夹角为45度(P点不为圆心),求证:AP^2+BP^2=2R^2
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/12 03:44:49
![在一圆O内,弦AB与直径MN相交于P点且夹角为45度(P点不为圆心),求证:AP^2+BP^2=2R^2](/uploads/image/z/5025034-10-4.jpg?t=%E5%9C%A8%E4%B8%80%E5%9C%86O%E5%86%85%2C%E5%BC%A6AB%E4%B8%8E%E7%9B%B4%E5%BE%84MN%E7%9B%B8%E4%BA%A4%E4%BA%8EP%E7%82%B9%E4%B8%94%E5%A4%B9%E8%A7%92%E4%B8%BA45%E5%BA%A6%EF%BC%88P%E7%82%B9%E4%B8%8D%E4%B8%BA%E5%9C%86%E5%BF%83%EF%BC%89%2C%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9AAP%5E2%2BBP%5E2%3D2R%5E2)
在一圆O内,弦AB与直径MN相交于P点且夹角为45度(P点不为圆心),求证:AP^2+BP^2=2R^2
在一圆O内,弦AB与直径MN相交于P点且夹角为45度(P点不为圆心),求证:AP^2+BP^2=2R^2
在一圆O内,弦AB与直径MN相交于P点且夹角为45度(P点不为圆心),求证:AP^2+BP^2=2R^2
作OE⊥AB于点E,则AE=BE
∵∠OPE=45°
∴OE=PE
设:BE=a,OE=b
则AE=a,PE=b
∴PB=a+b,PA=a-b
∴PA^2+PB^2=(a-b)^2+(a+b)^=2(a^2+b^2)
连接OB
在Rt△BOE中,OE^2+BE^2=OB^2
∴a^2+b^2=2R^2
∴PA^2+PB^2=2R^2
首先过P点做AB的垂直线与圆周分别相交于C 、D点,即做垂线段CD,
又因为AB与MN成45°AB与CD同为一个圆的两条玄线且垂直相交P点
所以AB=CD AP=CP BP=DP ∠CPN=∠APN=45°
因为线段 OA= OB =OC =OD=R PC2+PB2=BC2=AP2+BP2
所以∠OBA=∠OCD
所以∠OBA+∠CBA=∠OCD+∠CBA=...
全部展开
首先过P点做AB的垂直线与圆周分别相交于C 、D点,即做垂线段CD,
又因为AB与MN成45°AB与CD同为一个圆的两条玄线且垂直相交P点
所以AB=CD AP=CP BP=DP ∠CPN=∠APN=45°
因为线段 OA= OB =OC =OD=R PC2+PB2=BC2=AP2+BP2
所以∠OBA=∠OCD
所以∠OBA+∠CBA=∠OCD+∠CBA=∠CPB=90°
因此 OB2+OC2=BC2=2R2
得证 AP2+BP2=2R2
收起