作业帮线性代数的问题,学过线代的兄弟来看看~判断各集合对指定的运算是否成为是属于实数域R上的线性空间：全体实二元数组,对于下面定义的运算：1.（a1,b1）@(a2,b2)=(a1+a2,b1+b2+a1a2)2.k#(a1,b1)=（ka1,k
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/25 09:38:07
线性代数的问题,学过线代的兄弟来看看~判断各集合对指定的运算是否成为是属于实数域R上的线性空间：全体实二元数组,对于下面定义的运算：1.（a1,b1）@(a2,b2)=(a1+a2,b1+b2+a1a2)2.k#(a1,b1)=（ka1,k
线性代数的问题,学过线代的兄弟来看看~
判断各集合对指定的运算是否成为是属于实数域R上的线性空间：
全体实二元数组,对于下面定义的运算：
1.（a1,b1）@(a2,b2)=(a1+a2,b1+b2+a1a2)
2.k#(a1,b1)=（ka1,kb1+k(k-1)a1^2/2）
注：@和#是定义运算的符号.
线性代数的问题,学过线代的兄弟来看看~判断各集合对指定的运算是否成为是属于实数域R上的线性空间：全体实二元数组,对于下面定义的运算：1.（a1,b1）@(a2,b2)=(a1+a2,b1+b2+a1a2)2.k#(a1,b1)=（ka1,k
要证是线性空间,首先要满足数乘和加法运算.见矩阵分析（王永茂 机械工业出版社）
第一章.验证满足8条性质即可.
先定义“@”为加法运算,“#”为数乘运算
首先由于是R数域,肯定满足加法的封闭性
由定义知道1)(a1,b1)@(a2,b2)=(a1+a2,b1+b2+a1a2)=(a2+a1,b2+b1+a2a1)=(a2,b2)@(a1,b1),满足加法的交换率.
2)满足加法的结合率:
[(a1,b1)@(a2,b2)]@(a3,b3)=[(a1+a2,b1+b2+a1a2)]@(a3,b3)=[(a1+a2+a3,b1+b2+b3+a1a3+a2a3+a1a2)]
(a1,b1)@[(a2,b2)@(a3,b3)]=(a1,b1)@(a2+a3,b2+b3+a2a3)=(a1+a2+a3,b1+b2+b3+a1a2+a1a3+a2a3)
很明显 [(a1,b1)@(a2,b2)]@(a3,b3)=(a1,b1)@[(a2,b2)@(a3,b3)]
3)在空间R上存在零元素0,对任意的（ai,bi)在空间中有（ai,bi）@(0,0)=(ai,bi)
4)对于任何（ai,bi）属于空间,有负元素（-ai,ai*ai-bi）使（ai,bi）@（-ai,ai*ai-bi）=0
5)存在单位数1属于R,满足1#（a1,b1）=(a1,b1)
6)k#[m#(a1,b1)]=k#(ma1,mb1+m(m-1)a1^2/2),类似的能得到k#[m#(a1,b1)]=[k#m]#(a1,b1)这步你自己推一下
7)(k+m)#(a1,b1)=k#(a1,b1)@k#(a1,b1)这步你也根据定义证明
8)k#[(a1,b1)@(a2,b2)]=k#(a1,b1)@k#(a2,b2)也是根据定义你自己算一下把
因此所给定的系统在给定的空间上是线性空间