作业帮asinx+bcosx的最大值是否一定为（根号下（a²+b²））,有没有特殊情况,反例等等?求证一下直接用这个结论是否安全.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 20:32:09
asinx+bcosx的最大值是否一定为（根号下（a²+b²））,有没有特殊情况,反例等等?求证一下直接用这个结论是否安全.
asinx+bcosx的最大值
是否一定为（根号下（a²+b²））,有没有特殊情况,反例等等?求证一下直接用这个结论是否安全.
asinx+bcosx的最大值是否一定为（根号下（a²+b²））,有没有特殊情况,反例等等?求证一下直接用这个结论是否安全.
asinx+bcosx=(a²+b²)½[a/√a²+b²)sinx+(b/√a²+b²)cosx]
设a/√a²+b²=cosy,则b/√a²+b²=siny
(a²+b²)½[a/√a²+b²)sinx+(b/√a²+b²)cosx]==(a²+b²)½sin(x+y)
所以最大值为（a²+b²)½,最小值为-（a²+b²)½
这个结论具有一般性.
要看定义域的：
例如：x∈[-π/4, π/4]
求y=3sinx+4cosx的值域。
y=5sin(x+φ) ; 其中tanφ=4/3; 取φ=arctan4/3,则 π/4<φ<π/3;
0<-π/4+φ<=x+φ<=π/4+φ<7π/12;
当x+ψ= -π/4+φ,即： x=-π/4时，ymin=3×(-√2/2)+4×(√2/2)...
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要看定义域的：
例如：x∈[-π/4, π/4]
求y=3sinx+4cosx的值域。
y=5sin(x+φ) ; 其中tanφ=4/3; 取φ=arctan4/3,则 π/4<φ<π/3;
0<-π/4+φ<=x+φ<=π/4+φ<7π/12;
当x+ψ= -π/4+φ,即： x=-π/4时，ymin=3×(-√2/2)+4×(√2/2)=√2/2
当x+φ=π/2时，ymax=5
所以y=3sinx+4cosx的值域为: [√2/2,5]
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