设A为m×n矩阵,B为n×s矩阵,已知A的列向量组线性无关,证明:B与AB有相同的秩

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/24 02:52:23
设A为m×n矩阵,B为n×s矩阵,已知A的列向量组线性无关,证明:B与AB有相同的秩
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设A为m×n矩阵,B为n×s矩阵,已知A的列向量组线性无关,证明:B与AB有相同的秩
设A为m×n矩阵,B为n×s矩阵,已知A的列向量组线性无关,证明:B与AB有相同的秩

设A为m×n矩阵,B为n×s矩阵,已知A的列向量组线性无关,证明:B与AB有相同的秩
考虑方程ABx=0,由于A的列向量线性无关,所以只可能是Bx＝0.
这说明ABx＝0的解空间与Bx=0的解空间相同,其中ABx=0解空间的维度为s-r(AB),Bx＝0解空间的维度是s－r(B).
两个方程有相同的解空间,说明s-r(AB)=s-r(B),即r(AB)=r(B)得证.

题目有误，应该是证明 A与AB有相同的秩
设A=（α1，α2，α3，……，αn）（αn为矩阵的一列）
有AB=(α1*B11+α2*B21+……αn*Bn1，α1*B12+α2*B22+……αn*Bn2，……，α1*B1n+α2*B2n+……αn*Bnn)=
（α1*（B11+B12+……+B1n）
α2*（B21+B22+……+B2n）
…...

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题目有误，应该是证明 A与AB有相同的秩
设A=（α1，α2，α3，……，αn）（αn为矩阵的一列）
有AB=(α1*B11+α2*B21+……αn*Bn1，α1*B12+α2*B22+……αn*Bn2，……，α1*B1n+α2*B2n+……αn*Bnn)=
（α1*（B11+B12+……+B1n）
α2*（B21+B22+……+B2n）
……
αn*（Bn1+Bn2+……+Bnn））
由于A列向量组线性无关，即α1，α2，α3，……，αn为线性线性无关组
可以得到AB行向量组线性无关，即AB行满秩，其秩为n，与A秩相等

收起

设A为m*n矩阵,B为n*m矩阵,其中n 设A为m*n矩阵,B为n*m矩阵,其中n 设A为m*n矩阵,B为k*n矩阵,且r(A)+r(B) 设A为mxn矩阵,B为nxm矩阵,m>n,证明AB不是可逆矩阵? 设A为m×n矩阵,B为n×s矩阵,已知A的列向量组线性无关,证明:B与AB有相同的秩. 设A为m×n矩阵,B为n×s矩阵,已知A的列向量组线性无关,证明:B与AB有相同的秩 设A为M×N矩阵,B为N×M矩阵,则 A为m*n矩阵 B为n*s矩阵 证明r(A)= 设m×n实矩阵A的秩为n,证明：矩阵AtA为正定矩阵. 设A为m*n的矩阵,B为n*m的矩阵,m>n,证明AB=0 设A为m*n矩阵,B为n*s矩阵,若AB=O,求证：r(A)+r(B)≤n 设A为m*n矩阵,B为n*s矩阵,若AB=O,则r(A)+r(B)≤n 设A为m*n矩阵,B为n*s矩阵,若AB=O,则r(A)+r(B)≤n 设n*s实矩阵A的秩为s,则有秩为n-s的n*n-s实矩阵B,使（A,B）可逆 设A为n阶可逆矩阵,B为n×m矩阵,证明:秩(AB)=秩(B) 设A和B均为n×n矩阵,则必有 2、设A为m×n矩阵,B为n×m矩阵,且m＜n,已知AB＝I,其中I为m阶单位矩阵,证明B的列向量组线性无 设A是m*n矩阵,C和B均为n*s矩阵,且AB=AC,B不等于C,证明:r(A)