作业帮设函数f(x)在R上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)且在闭区间[07]上,只有f(1)=f(3)=0试判断函数y=f(x)的奇偶性.没学过周期函数啊,只学过必修一一二单元
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/26 03:50:49
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设函数f(x)在R上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)且在闭区间[07]上,只有f(1)=f(3)=0试判断函数y=f(x)的奇偶性.没学过周期函数啊,只学过必修一一二单元
设函数f(x)在R上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)且在闭区间[07]上,只有f(1)=f(3)=0
试判断函数y=f(x)的奇偶性.没学过周期函数啊,只学过必修一一二单元
设函数f(x)在R上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)且在闭区间[07]上,只有f(1)=f(3)=0试判断函数y=f(x)的奇偶性.没学过周期函数啊,只学过必修一一二单元
如果是奇函数,则有f(0)=-f(0),即f(0)=0,与已知矛盾
如果是偶函数,则f(3)=f(-3)=0
令x=5,得f(-3)=f(7)=0.与已知矛盾
故该函数为非奇非偶
PS：定义域为R的奇函数一定经过原点,即一定有f(0)=0,这个结论很重要
易知，对任意实数x∈R,恒有f(4-x)=f(x)且f(14-x)=f(x).∴f(4-x)=f(14-x).即f(4-x)=f[10+(4-x)].∴f(x+10)=f(x).即函数f(x)在R上是以10为周期的周期函数。
由f(10+x)=f(x),及f(3)=0可知，f(-3)=f(7)。①若f(-3)=f(3)=0.则f(7)=0.这与题设“在[0,7]上仅有f(1)=f(3)=0...
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易知，对任意实数x∈R,恒有f(4-x)=f(x)且f(14-x)=f(x).∴f(4-x)=f(14-x).即f(4-x)=f[10+(4-x)].∴f(x+10)=f(x).即函数f(x)在R上是以10为周期的周期函数。
由f(10+x)=f(x),及f(3)=0可知，f(-3)=f(7)。①若f(-3)=f(3)=0.则f(7)=0.这与题设“在[0,7]上仅有f(1)=f(3)=0”矛盾。∴f(-3)≠f(3).②若f(-3)+f(3)=0.同样有f(7)=0.矛盾。∴f(3)+f(-3)≠0.综上可知，在R上，函数f(x)非奇非偶。
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