椭圆C:x²/a²+y²/b²=1﹙a>b>0﹚的两个焦点为F1,F2,短轴两个端点为A,B,已知│向量OB││向量F1B││向量F1F2│成等比数列,向量F1B*向量F1F2=2,与x轴不垂直的直线l与C交于不同的
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/03 11:23:45
![椭圆C:x²/a²+y²/b²=1﹙a>b>0﹚的两个焦点为F1,F2,短轴两个端点为A,B,已知│向量OB││向量F1B││向量F1F2│成等比数列,向量F1B*向量F1F2=2,与x轴不垂直的直线l与C交于不同的](/uploads/image/z/5185286-62-6.jpg?t=%E6%A4%AD%E5%9C%86C%3Ax%26%23178%3B%EF%BC%8Fa%26%23178%3B%EF%BC%8By%26%23178%3B%EF%BC%8Fb%26%23178%3B%EF%BC%9D1%EF%B9%99a%EF%BC%9Eb%EF%BC%9E0%EF%B9%9A%E7%9A%84%E4%B8%A4%E4%B8%AA%E7%84%A6%E7%82%B9%E4%B8%BAF1%2CF2%2C%E7%9F%AD%E8%BD%B4%E4%B8%A4%E4%B8%AA%E7%AB%AF%E7%82%B9%E4%B8%BAA%2CB%2C%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E2%94%82%E5%90%91%E9%87%8FOB%E2%94%82%E2%94%82%E5%90%91%E9%87%8FF1B%E2%94%82%E2%94%82%E5%90%91%E9%87%8FF1F2%E2%94%82%E6%88%90%E7%AD%89%E6%AF%94%E6%95%B0%E5%88%97%2C%E5%90%91%E9%87%8FF1B%2A%E5%90%91%E9%87%8FF1F2%3D2%2C%E4%B8%8Ex%E8%BD%B4%E4%B8%8D%E5%9E%82%E7%9B%B4%E7%9A%84%E7%9B%B4%E7%BA%BFl%E4%B8%8EC%E4%BA%A4%E4%BA%8E%E4%B8%8D%E5%90%8C%E7%9A%84)
椭圆C:x²/a²+y²/b²=1﹙a>b>0﹚的两个焦点为F1,F2,短轴两个端点为A,B,已知│向量OB││向量F1B││向量F1F2│成等比数列,向量F1B*向量F1F2=2,与x轴不垂直的直线l与C交于不同的
椭圆C:x²/a²+y²/b²=1﹙a>b>0﹚的两个焦点为F1,F2,短轴两个端点为A,B,已知│向量OB││向量F1B││向量F1F2│成等比数列,向量F1B*向量F1F2=2,与x轴不垂直的直线l与C交于不同的两点M、N,记直线AM、AN的斜率分别为k1/k2,且k1k2=3/2.
(1)求椭圆C的方程
(2)求证直线l与y轴相交于顶点,并求出顶点坐标
(3)当弦MN的中点P落在四边形F1AF2B内(包括边界)时,求直线l的斜率的取值范围
(1)x²/2+y²=1
(2)(0,2)
(3)(-∞,-1-√6/2]∪[-1+√6/2,+∞)
主要解答(2)(3)
sorry,(2)求证直线l与y轴相交于定点,并求出定点坐标
椭圆C:x²/a²+y²/b²=1﹙a>b>0﹚的两个焦点为F1,F2,短轴两个端点为A,B,已知│向量OB││向量F1B││向量F1F2│成等比数列,向量F1B*向量F1F2=2,与x轴不垂直的直线l与C交于不同的
(2)设直线l与y轴交予定点(0,p)则l直线可以写成y=kx+p,代入椭圆方程分别消去x和y得到:
(2k²+1)x²+4kpx+2p²-2=0,(2k²+1)y²-2py+p²-2k²=0
由韦达定理可知:
x1+x2=-4kp/(2k²+1),x1x2=(2p²-2)/(2k²+1),y1+y2=2p/(2k²+1),y1y2=(p²-2k²)/(2k²+1)
(x1,y1)(x2,y2)即MN两点坐标,A点坐标为(0,-1)
AM斜率k1=(y1+1)/x1,AN斜率k2=(y2+1)/x2
k1k2=(y1+1)(y2+1)/x1x2=3/2
代入韦达定理结论化简得:p²-p-2=0
解得p=2或p=-1
当P=-1时,N点与A点重合不符合题意,舍去.
所以p=2
定点坐标为(0,2)
(3) 由韦达定理结论可知MN中点坐标为[-4k/(2k²+1),2/(2k²+1),]
纵坐标恒大于零,所以只讨论第一、二象限即可.
当MN中点在第二象限时,k>0
F1B方程为y=x+1,代入MN中点坐标1-4k/(2k²+1)=2/(2k²+1),
解得:k=1+√6/2(舍去负根)
当MN中点在第一象限时,k