求证：如果p是奇素数,那么任何能整除2^p-1的素数q都一定+/-1(mod 8)同余

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/25 20:41:28
求证：如果p是奇素数,那么任何能整除2^p-1的素数q都一定+/-1(mod 8)同余
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求证：如果p是奇素数,那么任何能整除2^p-1的素数q都一定+/-1(mod 8)同余
求证：如果p是奇素数,那么任何能整除2^p-1的素数q都一定+/-1(mod 8)同余

求证：如果p是奇素数,那么任何能整除2^p-1的素数q都一定+/-1(mod 8)同余
p是奇素数这个条件有点多余,其实对奇数都成立.
证明用到平方剩余的一个结果:
引理:对奇素数q,若2是mod q的平方剩余 (即存在整数a使a² = 2(mod q)),则q = ±1(mod 8).
由条件2^p = 1(mod q),即有2^(p+1) = 2(mod q).
而p是奇数,可取a = 2^((p+1)/2),则a² = 2(mod q),2是mod q的平方剩余.
于是q = ±1(mod 8).
如果需要补充引理的证明,

p=3时，显然。
p≥4时
2^p-1=(2-1)[2^(p-1)+2^(p-2)+......+2^3+2^2+2+1]（因式分解）
=[2^(p-1)+2^(p-2)+......+2^3]+7
=8[2^(p-4)+....+1]+（8-1）
所以
2^p-1对一切不小于3 的自然数p，都与-1同余（模8）
自然，对一切奇素数p，也都与...

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p=3时，显然。
p≥4时
2^p-1=(2-1)[2^(p-1)+2^(p-2)+......+2^3+2^2+2+1]（因式分解）
=[2^(p-1)+2^(p-2)+......+2^3]+7
=8[2^(p-4)+....+1]+（8-1）
所以
2^p-1对一切不小于3 的自然数p，都与-1同余（模8）
自然，对一切奇素数p，也都与-1同余（模8）

收起

求证：如果p是奇素数,那么任何能整除2^p-1的素数q都一定+/-1(mod 8)同余 已知p是素数 求证p整除(p-1)!+1 证明：若p是奇质数,那么能整除2^p-1的质数q一定是2p的倍数加上1 设p是奇素数,证明1^n+2^n+…+(p-1)^n=0(mod p)其中,p-1不整除n 设p是奇素数,证明 设p为素数,n为任意自然数.求证：(1+n)^p-n^p-1 能被p整除. 如果P是素数,a是任意一个整数,则a被P整除或者? 初等数论中若p为奇素数为什么说p一定整除C(下面是p,上面是i),其中i不为0和p 如果一个两位数不能被（ ）整除,那么这个两位数一定是素数,如果一个两位数不能被（ ）整除,那么这个两位数一定是素数, 证明 如果m-p能整除mn+pq,那么m-p能整除mp+nq. 任何合数都能被素数整除? 如果p是素数,a是整数,那么p!|(a^p+(p-1)!a) 求证：N的平方被素数P整除,则N被P整除 证明：奇素数p能表示成两个正整数的平方和的充要条件是p=4m+1. 数论 证明奇素数p能表示成两个正整数的平方和的充要条件是p=4m+1 如果一个两位数不能被什么数整除,那么这个两位数一定是素数 如果一个两位数不能被（?）整除,那么这个两位数一定是素数 奇完全数的一般式证明任何奇完全数的形式必为p^(4a+1) * Q^2，这里P为奇素数，a为非负整数，Q为正整数。