作业帮X^2/9+Y^2/4=1的焦点为F1,F2点P为椭圆的一动点,当向量PF1*PF2〈0时,求P点横坐标的范围?着急
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/20 19:47:59
X^2/9+Y^2/4=1的焦点为F1,F2点P为椭圆的一动点,当向量PF1*PF2〈0时,求P点横坐标的范围?着急
X^2/9+Y^2/4=1的焦点为F1,F2点P为椭圆的一动点,当向量PF1*PF2〈0时,求P点横坐标的范围?着急
X^2/9+Y^2/4=1的焦点为F1,F2点P为椭圆的一动点,当向量PF1*PF2〈0时,求P点横坐标的范围?着急
依题意：∠F1PF2为钝角,在△F1PF2中依余弦定理有：
│F1P│^2+│F2P│^2＜│F1F2│^2=4c^2=20
设P为(x0,y0)由焦半径公式*：
│F1P│=a+ex0,│F2P│=a-ex0
于是：-3√5/5＜x0＜3√5/5.
*注：焦半径公式P(x0,y0)为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上一点F1为右焦点
右准线为x=a^2/c=a/e
P到右准线的距离为：d=a/e-x0
由椭圆的第二定义（到定点的距离等于 e 乘以它们到定直线的距离）
│PF1│=ed=a-ex0
由椭圆的第一定义（到两定点的距离和为常数）
│PF2│=2a-│PF1│=a+ex0.
依题意a=3，b=2，所以可求出c=√5，设F1（-√5，0），F2（√5，0），P（xo，yo）则
向量PF1=（-√5-xo，-yo）
向量PF2=（√5-xo，-yo）
所以，向量PF1*PF2=（-√5-xo，-yo）*（√5-xo，-yo）
=（-√5-xo）*（√5-xo）+（-yo）（-yo）
=xo²-5+yo²
...
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依题意a=3，b=2，所以可求出c=√5，设F1（-√5，0），F2（√5，0），P（xo，yo）则
向量PF1=（-√5-xo，-yo）
向量PF2=（√5-xo，-yo）
所以，向量PF1*PF2=（-√5-xo，-yo）*（√5-xo，-yo）
=（-√5-xo）*（√5-xo）+（-yo）（-yo）
=xo²-5+yo²
因为P（xo，yo）在椭圆上，所以xo²/9+yo²/4=1，即yo²=4-4xo²/9，代入上式得
向量PF1*PF2=xo²-5+yo²=xo²-5+（4-4xo²/9）=5xo²/9-1
依题意向量PF1*PF2〈0，所以，5xo²/9-1〈0，解这个不等式得
-3√5/5〈xo〈3√5/5
收起
先求垂直情况
设|PF1|=m,}PF2|=n
m+n=6
m^2+n^2=20
解得m=4
-4