在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是正三角形,且垂直于底面ABCD,底面ABC是边长为2的菱形,角BAD为60,M为PC中点,求PA平行BDM,求AC于面ADM所成角的正弦值.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/02 02:18:24
![在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是正三角形,且垂直于底面ABCD,底面ABC是边长为2的菱形,角BAD为60,M为PC中点,求PA平行BDM,求AC于面ADM所成角的正弦值.](/uploads/image/z/5196532-4-2.jpg?t=%E5%9C%A8%E5%9B%9B%E6%A3%B1%E9%94%A5P-ABCD%E4%B8%AD%2C%E4%BE%A7%E9%9D%A2PAD%E6%98%AF%E6%AD%A3%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%2C%E4%B8%94%E5%9E%82%E7%9B%B4%E4%BA%8E%E5%BA%95%E9%9D%A2ABCD%2C%E5%BA%95%E9%9D%A2ABC%E6%98%AF%E8%BE%B9%E9%95%BF%E4%B8%BA2%E7%9A%84%E8%8F%B1%E5%BD%A2%2C%E8%A7%92BAD%E4%B8%BA60%2CM%E4%B8%BAPC%E4%B8%AD%E7%82%B9%2C%E6%B1%82PA%E5%B9%B3%E8%A1%8CBDM%2C%E6%B1%82AC%E4%BA%8E%E9%9D%A2ADM%E6%89%80%E6%88%90%E8%A7%92%E7%9A%84%E6%AD%A3%E5%BC%A6%E5%80%BC.)
在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是正三角形,且垂直于底面ABCD,底面ABC是边长为2的菱形,角BAD为60,M为PC中点,求PA平行BDM,求AC于面ADM所成角的正弦值.
在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是正三角形,且垂直于底面ABCD,底面ABC是边长为2的菱形,角BAD为60,M为PC中点,
求PA平行BDM,求AC于面ADM所成角的正弦值.
在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是正三角形,且垂直于底面ABCD,底面ABC是边长为2的菱形,角BAD为60,M为PC中点,求PA平行BDM,求AC于面ADM所成角的正弦值.
1、连结AC、BD,交于O点,连结OM,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AO=CO,(菱形对角线互相垂直平分),
∵PM=CM,(已知),
∴OM是△CAP的中位线,
∴PA//OM,
∵OM∈平面BDM,
∴PA//平面BDM.
2、在平面PAC上作CH⊥PA,交PA于H,
∵PA//平面BDM,
∴<PAC 与AC和平面BDM所成角相等,
∵<BAD=60°,
∴△ABD是正△,
BD=AB=2,AO=√3OB=√3,
∴AC=2√3,
在平面PAD上作PH⊥AD,
∵平面PAD⊥平面ABCD,
∴PH⊥平面ABCD,
PH=√3,在△AHC中,<D=120°,根据余弦定理,CH=√7,
∵CH∈平面ABCD,
∴PH⊥CH,
∴△PHC是RT△,
在△PHC中,根据勾股定理,
PC=√(PH^2+CH^2)=√10,
在△PAC中,根据余弦定理,
cos<PAC=(PA^2+AC^2-PC^2)/(2PA*AC)=(4+12-10)/(2*2*2√3)=√3/4,
∴sin<PAC=√(1-3/16)=√13/4,
∴AC与平面ADM所成角的正弦值为√13/4.