已知a,b,c是三角形ABC的三边长,且a方+b方+c方=ab+ac+bc,求证三角形ABC是等边三角形
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/18 18:38:09
已知a,b,c是三角形ABC的三边长,且a方+b方+c方=ab+ac+bc,求证三角形ABC是等边三角形
已知a,b,c是三角形ABC的三边长,且a方+b方+c方=ab+ac+bc,求证三角形ABC是等边三角形
已知a,b,c是三角形ABC的三边长,且a方+b方+c方=ab+ac+bc,求证三角形ABC是等边三角形
两边乘以2,移项得:
2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0
由于(a-b)^2≥0;(b-c)^2≥0;(c-a)^2≥0
均为非负,只有同时等于0是,等式成立.
即:a-b=0;b-c=0;c-a=0.
所以a=b=c
所以三角形ABC是等边三角形.
2(a方+b方+c方)=2(ab+ac+bc)
移项合并同类项,得
(a-b)方+(a-c)方+(b-c)方=0
则 a=b=c
因为 a方+b方+c方=ab+ac+bc
所以 1/2a方+1/2b方-ab+1/2a方+1/2c方-ac+1/2b方+1/2c方-bc=0
所以 1/2(a方+b方-2ab)+1/2(a方+c方-2ac)+1/2(b方+c方-2bc)=0
所以 1/2(a-b)方+1/2(a-c)方+1/2(b-c)方=0
所以 a-b=a-c=b-c=0
因为 a,b,...
全部展开
因为 a方+b方+c方=ab+ac+bc
所以 1/2a方+1/2b方-ab+1/2a方+1/2c方-ac+1/2b方+1/2c方-bc=0
所以 1/2(a方+b方-2ab)+1/2(a方+c方-2ac)+1/2(b方+c方-2bc)=0
所以 1/2(a-b)方+1/2(a-c)方+1/2(b-c)方=0
所以 a-b=a-c=b-c=0
因为 a,b,c是三角形ABC的三边长
所以 a、b、c不为0
所以 a=b=c
所以 三角形ABC是等边三角形
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