已知:a,b,c为△的三边,且满足a²(c²-a²)=b²(c²-b²),试判断此三角形的形状.

已知:a,b,c为△的三边,且满足a²(c²-a²)=b²(c²-b²),试判断此三角形的形状.
已知:a,b,c为△的三边,且满足a²(c²-a²)=b²(c²-b²),试判断此三角形的形状.

已知:a,b,c为△的三边,且满足a²(c²-a²)=b²(c²-b²),试判断此三角形的形状.
a²(c²-a²)=b²(c²-b²)
a²c²-b²c²=a⁴-b⁴
（a²-b²）c²=（a²-b²）（a²+b²）
（a²-b²）（c²-a²-b²）=0
a²-b²=0,解得a=b
c²-a²-b²=0,得c²=a²+b²
所以此三角形为等腰三角形,或者直角三角形,且c为斜边

a²(c²-a²)=b²(c²-b²)
移项分解为（a²-b²)(a²+b²-c²)=0
从而△为等边三角形或直角三角形

解法一：
a²(c²-a²)=b²(c²-b²)
a²c²-b²c²+b^4-a^4=0
(a²-b²)c²-(a²-b²)(a²+b²)=0
(a²-b²)(c²-a...

全部展开

解法一：
a²(c²-a²)=b²(c²-b²)
a²c²-b²c²+b^4-a^4=0
(a²-b²)c²-(a²-b²)(a²+b²)=0
(a²-b²)(c²-a²-b²)=0
(a+b)(a-b)(a²+b²-c²)=0
所以：a-b=0或者a²+b²-c²=0
所以：a=b或者a²+b²=c²
所以：三角形ABC是等腰三角形或者直角三角形
解法二：
a²(c²-a²)=b²(c²-b²)
(c²-b²)/a²=(c²-a²)/b²
两边同时加上1得：
(c²+a²-b²)/a²=(c²+b²-a²)/b²
结合余弦定理：
cosB=(c²+a²-b²)/(2ac)
cosA=(c²+b²-a²)/(2bc)
代入得：
2accosB/a²=2bccosA/b²
cosB/a=cosA/b
结合正弦定理得：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
a/b=cosB/cosA=sinA/sinB
所以：2sinAcosA=2sinBcosB
所以：sin2A=sin2B
所以：2A=2B或者2A+2B=180°
所以：A=B或者A+B=90°
所以：三角形ABC是等腰三角形或者直角三角形

收起

假设a^2+b^2+X=c^2
则方程变成
a^2 ( b^2 + X ) = b^2 ( a^2 + X )
a^2*X = b^2*X
（1）a=b，则是等腰三角形
（2）X=0，则是直角三角形

由余弦定理得 c^2-a^2=b^2-2abcosC ，c^2-b^2=a^2-2abcosC ，
所以原式化为 a^2*(b^2-2abcosC)=b^2*(a^2-2abcosC) ，
展开化简得 (a-b)cosC=0 ，
因此 a=b 或 C=π/2 。
所以，三角形是等腰三角形或直角三角形 。

a²(c²-a²)=b²(c²-b²)
a²c²-a²*a²=b²c²-b²*b²
c²(a²-b²)=(a²+b²)(a²-b²)
∴c²=a²+b² 此为直角三角形
∴a²=b² 此为等腰三角形