如图,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,OC平行于弦AD,过点D作DE⊥AB于点E,连接AC,与DE交于点P,求证:P点是线段DE的中点.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/16 19:24:43
![如图,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,OC平行于弦AD,过点D作DE⊥AB于点E,连接AC,与DE交于点P,求证:P点是线段DE的中点.](/uploads/image/z/5204505-57-5.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E5%B7%B2%E7%9F%A5AB%E6%98%AF%E2%8A%99O%E7%9A%84%E7%9B%B4%E5%BE%84%2CBC%E6%98%AF%E2%8A%99O%E7%9A%84%E5%88%87%E7%BA%BF%2COC%E5%B9%B3%E8%A1%8C%E4%BA%8E%E5%BC%A6AD%2C%E8%BF%87%E7%82%B9D%E4%BD%9CDE%E2%8A%A5AB%E4%BA%8E%E7%82%B9E%2C%E8%BF%9E%E6%8E%A5AC%2C%E4%B8%8EDE%E4%BA%A4%E4%BA%8E%E7%82%B9P%2C%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9AP%E7%82%B9%E6%98%AF%E7%BA%BF%E6%AE%B5DE%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9.)
如图,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,OC平行于弦AD,过点D作DE⊥AB于点E,连接AC,与DE交于点P,求证:P点是线段DE的中点.
如图,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,OC平行于弦AD,过点D作DE⊥AB于点E,连接AC,与DE交于点P,
求证:P点是线段DE的中点.
如图,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,OC平行于弦AD,过点D作DE⊥AB于点E,连接AC,与DE交于点P,求证:P点是线段DE的中点.
连接BD.
AD与OC平行,故三角形ADE和三角形OCB相似,所以AE/OB=DE/BC,即AE*BC=DE*OB.
三角形AEP相似于三角形ABC,所以AE/AB=EP/BC,即AE*BC=AB*EP.
所以DE*OB=AB*EP
AB=2OB,所以DE=2EP.
所以P为线段DE的中点.
辅助线如图。 先证三角形OCF全等三角形AGF,得OF=GF 再根据三角形AEP相似三角形AOF得EP/OF=AP/AF 同样的三角形APD相似三角形AFG得PD/FG=AP/AF 所以EP/OF=PD/FG,又OF=FG,所以EP=PD. 所以P为ED的中点。
DP=PE.证明如下:
∵AB是⊙O的直径,BC是切线,
∴AB⊥BC.
∴DE∥BC,
∴Rt△AEP∽Rt△ABC,得
EP
BC
=
AE
AB
.①
又∵AD∥OC,∴∠DAE=∠COB,
∴Rt△AED∽Rt△OBC.
∴
ED
BC ...
全部展开
DP=PE.证明如下:
∵AB是⊙O的直径,BC是切线,
∴AB⊥BC.
∴DE∥BC,
∴Rt△AEP∽Rt△ABC,得
EP
BC
=
AE
AB
.①
又∵AD∥OC,∴∠DAE=∠COB,
∴Rt△AED∽Rt△OBC.
∴
ED
BC
=
AE
OB
=
AE
12AB
=
2AE
AB
②
由①,②得ED=2EP.
∴DP=PE.
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