三次函数f(x)=ax^3+bx^2+cx(a,b,c∈R) （1）若函数f(x)过点(-1,2)且在点(1,f(1))处的切线方程为y+2=0,求函数f(x)的解析式；（2）当a=1时,若-2≤f(-1)≤1,-1≤f(1)≤3,试求f(2)的取值范围；（3）对任意的x∈[-1,1

三次函数f(x)=ax^3+bx^2+cx(a,b,c∈R) （1）若函数f(x)过点(-1,2)且在点(1,f(1))处的切线方程为y+2=0,求函数f(x)的解析式；（2）当a=1时,若-2≤f(-1)≤1,-1≤f(1)≤3,试求f(2)的取值范围；（3）对任意的x∈[-1,1
三次函数f(x)=ax^3+bx^2+cx(a,b,c∈R)
（1）若函数f(x)过点(-1,2)且在点(1,f(1))处的切线方程为y+2=0,求函数f(x)的解析式；
（2）当a=1时,若-2≤f(-1)≤1,-1≤f(1)≤3,试求f(2)的取值范围；
（3）对任意的x∈[-1,1],都有|f´(x)|≤1,试求实数a的最大值,并求a取得最大值时f(x)的表达式.
100分奉上
只需要最后一问做法即可

三次函数f(x)=ax^3+bx^2+cx(a,b,c∈R) （1）若函数f(x)过点(-1,2)且在点(1,f(1))处的切线方程为y+2=0,求函数f(x)的解析式；（2）当a=1时,若-2≤f(-1)≤1,-1≤f(1)≤3,试求f(2)的取值范围；（3）对任意的x∈[-1,1
a的最大值为2/3,考查的是绝对值不等式的性质
∵对任意的x∈[-1,1],都有|f´(x)|≤1即|3ax^2+2bx+c|≤1恒成立
∴|f´(0)|≤1；|f´(1)|≤1；|f´(-1)|≤1
即|c|≤1； |3a+2b+c|≤1；|3a-2b+c|≤1；
∴ |(3a+2b+c)+(3a-2b+c)|≤|3a+2b+c|+|3a-2b+c|≤2
即|3a+c|≤1
又||3a|-|c||≤|3a+c|≤1
∴|3a|≤1+|c|
∵|c|≤1代入上式得|3a|≤1+1=2即|a|≤2/3
∴a≤2/3
当a=2/3时,
|c|=1；|2-2b+c|=1；|2+2b+c|=1
解得b=0,c=-1,
∴a取得最大值时f(x)=(2/3)x^3-x

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第三问相当麻烦，求导得出二次不等式-1<<3ax^2+2bx+c<<1
使其在-1，1区间恒成立
先讨论a>0,a<0
根据对称轴和顶点值详细讨论才能得出结论

由（Ⅰ）中求出的导函数，分别把x=0，-1，1代入导函数中，得到关于a，b及c的方程组，消去b和c，得到关于a的关系式，根据当-1≤x≤1时，|f′（x）|≤1，得到x=0，-1，1对应的导函数值都小于等于1，根据|a+b+c|小于等于|a|+|b|+|c|，即可列出关于a的不等式，求出不等式的解集进而得到a的最大值，把此时a的值代入关于a，b及c的方程组，即可求出b和c的值，把求出的a，b及c代...

全部展开

由（Ⅰ）中求出的导函数，分别把x=0，-1，1代入导函数中，得到关于a，b及c的方程组，消去b和c，得到关于a的关系式，根据当-1≤x≤1时，|f′（x）|≤1，得到x=0，-1，1对应的导函数值都小于等于1，根据|a+b+c|小于等于|a|+|b|+|c|，即可列出关于a的不等式，求出不等式的解集进而得到a的最大值，把此时a的值代入关于a，b及c的方程组，即可求出b和c的值，把求出的a，b及c代入即可求出a取最大值时f（x）的解析式．

收起

(1)点(-1,2)代入， 得-a+b+c=2,
f"(x)=3ax^2+2bx+c, f"(1)=3a+2b+c=0
f(1)=a+b+c=-2 解这三式a=-2,b=6,c=-6
f(x)=-2x^3+6x^2-6x
(2)a=1,...

全部展开

(1)点(-1,2)代入， 得-a+b+c=2,
f"(x)=3ax^2+2bx+c, f"(1)=3a+2b+c=0
f(1)=a+b+c=-2 解这三式a=-2,b=6,c=-6
f(x)=-2x^3+6x^2-6x
(2)a=1, f(x)=x^3+bx^2+cx, -2<=-1+b-c<=1且 -1<=1+b+c<=3
-1<=b-c<=2且-2<=b+c<=2
为方便起见，用x代表b,有y代表c，则上二式为-1<=x-y<=2且-2<=x+y<=2
在直角坐标中作四条直线，x-y=-1, x-y=2, x+y=-2, x+y=2, 围成的是一个矩形，各顶点的坐标分别为A(2,0),B(1/2,3/2), C(-3/2,-1/2), D(0,-2)
f(2)=8+4b+2c=8+2(2b+c), 当取A点时，最大值=16，当取C点时，最小值=1
所以1<=f(2)<=16

收起

• (3)|f´(x)|≤1等价于-1≤f´(x)≤1也就是说最大值小于等于1，最小值大于等于1。而f´(x)=3ax^2+2bx+c，

• 第一看a，a=0则为一次函数，再看b，若b=0,那么就说明-1≤c≤1就可满足，也就和a没关系；若b不等于0，那么一次函数就是两端为最大和最小值，即-1≤b+c≤1和-1≤-b+c≤-1。因为b,c任取，也就和a没关系，总之a=0满足。

• 因为a=0满足，所以a<0就不考虑了。

• 当a>0时，则为开口向上的二次函数。这时需要看对称轴x=-b/(3a)。

• • 如果对称轴在[-1，1]之间，即-1≤-b/(3a)≤1。那么最小值为f(-b/(3a))= -b^2/(3a)+c≥-1，然后再分类。

• • 当b≥0时，-1≤对称轴≤0，即0≤b≤3a，则最大值为f(1)≤1，

  　　                                        即3a+2b+c≤1。

  　　由上式-b^2/(3a)+c≥-1，得   b^2/(3a)-c≤1。两式相加得，

　　b^2/(3a)+3a+2b≤2，由于a>0，左右都乘3a得b^2+6ab+9a^2-6a≤0。

　　这时把a看成常数，把式子看成b的二次函数。就是存在一个b使上式成立，即最小值≤0，由于0≤b≤3a， 　

　而对称轴为b=-3a，所以当b=0时，上式取得最小值，即9a^2-6a≤0，解得 　　0≤a≤2/3。

•  同理，b<0同解。

  • 如果对称轴在（-∞，-1）∪（1，+∞）上，即-b/(3a)≤-1或-b/(3a)≥1，继续分类，

  • 当b≥0时，对称轴≤-1，即b≥3a，则最大值为f(1)=3a+2b+c≤1

  　　最小值为f(-1)=3a-2b+c≥-1，即-3a+2b-c≤1，两式相加得b≤1/2。由于b≥3a，则1/2≥3a，即0≤a≤1/6。

  • 同理，b<0同解。

    综上所述，a≤2/3。所以a的最大值为2/3。

    当a=2/3时，b=0，c=-1。

    PS：这个悬赏的分数能干什么呢？是用来下百度文档吗？