作业帮若f(x)=x/√1+x^2,f1(x)=f(x),fn-1(x)=f[fn(x)] （ n属于N*） (1)求出f2(x),f3(x),f4(x)的解析式（2）由前面计算结果,猜想fn（x）的表达式,并用数学归纳法证明
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/07/21 13:12:01
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若f(x)=x/√1+x^2,f1(x)=f(x),fn-1(x)=f[fn(x)] （ n属于N*） (1)求出f2(x),f3(x),f4(x)的解析式（2）由前面计算结果,猜想fn（x）的表达式,并用数学归纳法证明
若f(x)=x/√1+x^2,f1(x)=f(x),fn-1(x)=f[fn(x)] （ n属于N*） (1)求出f2(x),f3(x),f4(x)的解析式
（2）由前面计算结果,猜想fn（x）的表达式,并用数学归纳法证明
若f(x)=x/√1+x^2,f1(x)=f(x),fn-1(x)=f[fn(x)] （ n属于N*） (1)求出f2(x),f3(x),f4(x)的解析式（2）由前面计算结果,猜想fn（x）的表达式,并用数学归纳法证明
f1(x)＝x/根号(1+x^2),f2(x)＝x/根号(1+x^2)/根号(1+x^2/(1+x^2))＝x/根号(1+2x^2)；
f3(x)＝x/根号(1+x^2)/根号(1+x^2/(1+2x^2))＝x/根号(1+3x^2)；
f4(x)＝x/根号(1+4x^2).
猜想：fn(x)＝x/根号(1+nx^2),n＝1,2,...,
证明：当n＝1,2,3时结论成立,设fn(x)＝x/根号(1+nx^2),则对n+1,有
f_(n+1)(x)＝f(fn(x))＝x/根号(1+nx^2)/【根号(1+x^2/(1+nx^2))】
＝x/根号(1+(n+1)x^2),故结论对n+1成立.
由数学归纳法知道fn(x)＝x/根号(1+nx^2)对所有的n成立.