求证当a1=1,an=1\a(n-1)+1,证明{an}收敛

求证当a1=1,an=1\a(n-1)+1,证明{an}收敛
求证当a1=1,an=1\a(n-1)+1,证明{an}收敛

求证当a1=1,an=1\a(n-1)+1,证明{an}收敛
证明：显然可以发现an是有理数序列,设an=(F(n+1))/Fn
=>F(n+1)=Fn+F(n-1)
F(1)=F(2)=1
故Fn为斐波拉契数列
而斐波拉契数列lim(F(n+1))/Fn=(sqrt(5)+1)/2
(或者自己推导即可）
F(n)=1/sqrt(5)(a^n-b^n) (a=(sqrt(5)+1)/2,b=(-sqtr(5)+1)/2)
故an通项为(a^n-b^n)/(a^(n-1)-b^(n-1))
|a|>1>|b|
故an极限为a
初等做法
为了书写方便
(a=(sqrt(5)+1)/2,b=(-sqtr(5)+1)/2)
a(n+1)-a=(-b)/an(an-a)
=>(a(n+1)-a/(an-a)=(-b)/an;
=>a(n+1)-a=(-b)^n/(a1a2a3...an)*(a2-a)
=>|a(n+1)-a|=(-b)^n*|a2-a|/(a1a2a3...an)
显然ai>1=>|a(n+1)-a|