设二次函数f(x)=x^2+bx+c(b,属于R）已知无论α,β为何实数,恒有f(sinα)≥和f(cosβ+2)≤0 求证:b+c=-1和c≥3

设二次函数f(x)=x^2+bx+c(b,属于R）已知无论α,β为何实数,恒有f(sinα)≥和f(cosβ+2)≤0 求证:b+c=-1和c≥3
设二次函数f(x)=x^2+bx+c(b,属于R）已知无论α,β为何实数,恒有f(sinα)≥和f(cosβ+2)≤0 求证:b+c=-1
和c≥3

设二次函数f(x)=x^2+bx+c(b,属于R）已知无论α,β为何实数,恒有f(sinα)≥和f(cosβ+2)≤0 求证:b+c=-1和c≥3
因-1≤sinα≤1,f(sinα)≥0恒成立
所以当-1≤x≤1时,f(x)≥0恒成立
因1≤cosβ+2≤3,f(cosβ+2)≤0 恒成立
所以当1≤x≤3时,f(x)≤0恒成立
所以f(1)≤0且f(1)≥0
故f(1)=0即1+b+c=0
所以b+c=-1
又f(3)≤0
即f(3)=9+3b+c=9+3(-1-c)+c≤0
解得c≥3