大学数学证明题 对于任意两个正整数m和n,试证:m+n,m-n,mn三者中至少有一个是三的倍数.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/15 12:41:15
大学数学证明题 对于任意两个正整数m和n,试证:m+n,m-n,mn三者中至少有一个是三的倍数.
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大学数学证明题 对于任意两个正整数m和n,试证:m+n,m-n,mn三者中至少有一个是三的倍数.
大学数学证明题 对于任意两个正整数m和n,试证:m+n,m-n,mn三者中至少有一个是三的倍数.

大学数学证明题 对于任意两个正整数m和n,试证:m+n,m-n,mn三者中至少有一个是三的倍数.
反证法,假设都不是3的倍数
因为m-n不是3的倍数,所以m、n除以3不同余
因为mn不是3的倍数,所以m、n均不是3的倍数,那么只有可能一个余1,一个余2
则此时m+n是3的倍数
与假设矛盾
故得证.

使用反证法
(1)假设m+n,m-n,mn三者都不是3的倍数,那么首先可以得到m和n均不是三的倍数,我们知道任何一个数模(%)3只可能有三种结果:0、1、2 ;则说明m和n模3只可能是1、2
(2)m+n不是3的倍数 则说明m和n模3只能同时为1或者同时为2,则设m=3k+1(k为任意非负整数),n=3x+1(x为任意非负整数)或者是m=3k+2(k为任意非负整数),n=3x+2...

全部展开

使用反证法
(1)假设m+n,m-n,mn三者都不是3的倍数,那么首先可以得到m和n均不是三的倍数,我们知道任何一个数模(%)3只可能有三种结果:0、1、2 ;则说明m和n模3只可能是1、2
(2)m+n不是3的倍数 则说明m和n模3只能同时为1或者同时为2,则设m=3k+1(k为任意非负整数),n=3x+1(x为任意非负整数)或者是m=3k+2(k为任意非负整数),n=3x+2(x为任意非负整数)
(3)取一组研究,可以以此类推:m=3k+1(k为任意非负整数),n=3x+1(x为任意非负整数),那么m-n=3(k-x) 则(m-n)模3必定为0,则m-n是3的倍数
所以,综合(1)(2)(3)得证 对于任意两个正整数m和n,试证:m+n,m-n,mn三者中至少有一个是三的倍数。

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