作业帮x,y∈(0,+∞),x+2y+xy=30,求x+y的取值范围答案是x+y∈[8√2-3,30),
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/07/17 16:44:55
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x,y∈(0,+∞),x+2y+xy=30,求x+y的取值范围答案是x+y∈[8√2-3,30),
x,y∈(0,+∞),x+2y+xy=30,求x+y的取值范围
答案是x+y∈[8√2-3,30),
x,y∈(0,+∞),x+2y+xy=30,求x+y的取值范围答案是x+y∈[8√2-3,30),
x+2y+xy=30,
则y=(30-x)/(x+2),
因为y>0, (30-x)/(x+2) > 0,
所以0<x<30.
设x+2=t,则x=t-2,2<t<32.
x+y= x+(30-x)/(x+2)
=t-2+(32-t)/t
=t-2+32/t-1
= t+32/t-3……利用基本不等式
≥2√(t•32/t)-3=8√2-3.
函数t+32/t在[0,4√2]上递减,在[ 4√2,+∞）上递增,
因为2<t<32,所以t=32时,t+32/t最大,t+32/t-3<30.
∴x+y∈[8√2-3,30).
(x+2)(y+1)=32 则，x+2+y+1变成x+2+32/(x+2)，考虑函数单调性可得最小值8√2，最大值32~然后就是结果了~