已知斜率为1的直线l与双曲线C:x^2/a^2-y^2/b^2=1相交于B、D两点,且BD的中点M(1,3),求C的离心率

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/29 03:51:59
已知斜率为1的直线l与双曲线C:x^2/a^2-y^2/b^2=1相交于B、D两点,且BD的中点M(1,3),求C的离心率
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已知斜率为1的直线l与双曲线C:x^2/a^2-y^2/b^2=1相交于B、D两点,且BD的中点M(1,3),求C的离心率
已知斜率为1的直线l与双曲线C:x^2/a^2-y^2/b^2=1相交于B、D两点,且BD的中点M(1,3),求C的离心率

已知斜率为1的直线l与双曲线C:x^2/a^2-y^2/b^2=1相交于B、D两点,且BD的中点M(1,3),求C的离心率
设直线l的方程为:y=x+m
代入双曲线C中得
x^2/a^2-(x+m)^2/b^2=1
即:(1/a^2-1/b^2)x^2-2m/b^2*x-1-m^2/b^2=0
x1+x2=(2m/b^2)/(1/a^2-1/b^2)=2ma^2/(b^2-a^2)=2
y1+y2=x1+m+x2+m=2+2m=6
即m=2
从而4a^2/(b^2-a^2)=2
3a^2=b^2
e^2=c^2/a^2=(a^2+b^2)/a^2=4
C的离心率:e=2

已知M(1,3)则Y=X+2——(1)
x^2/a^2-y^2/b^2=1——(2)
联立(1)(2),得:(b^2-a^2)X^2-4a^2X-4a^2-a^2b^2=0
根据韦达定理:X1+X2=-b/a=2a^2/(b^2-a^2)=1
所以b^2=3a^2 c^2=a^2+b^2=4a^2 e=根号下c^2/a^2=2

(12 ,-1 )

设直线方程为y=x+n B的坐标为(x1,y1) D(x2,y2) 因为BD在双曲线上 所以满足双曲线的方程x1^2/a^2-y1^2/b^2=1 x2^2/a^2-y2^2/b^2=1 两式相减 得x1^2/a^2-x2^2/a^2-(y1^2/b^2-y2^2/b^2)=0 用平方差公式得(x1-x2)(x1+x2)/a2-(y1-y2)(y1+y2)/b2...

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设直线方程为y=x+n B的坐标为(x1,y1) D(x2,y2) 因为BD在双曲线上 所以满足双曲线的方程x1^2/a^2-y1^2/b^2=1 x2^2/a^2-y2^2/b^2=1 两式相减 得x1^2/a^2-x2^2/a^2-(y1^2/b^2-y2^2/b^2)=0 用平方差公式得(x1-x2)(x1+x2)/a2-(y1-y2)(y1+y2)/b2=0 因为直线斜率为1 所以(x1-x2)不为零 同除以(x1-x2) 得(x1+x2)/a2-(y1-y2)(y1+y2)/(x1-x2)b2=0 (y1-y2)/ (x1-x2)是直线的斜率 为1 代入方程 得 (x1+x2)/a2-(y1+y2)/b2=0 因为BD的重点为M 所以M的坐标为((x1+x2)/2,,(y1+y2)/2) 所以 x1+x2=2 y1+y2=6 带入方程(x1+x2)/a2-(y1+y2)/b2=0得2/a2-6/b2=0 化简既得b2-3a2=0 因为a2+b2=c2 联立,消去b2 得4a2=c2 e2=c2/a2=4 离心率e=2

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由题刻设L:y=x+2 B(x1,y1)D(x2,y2)M(1,3)
将BD两点代入x^2/a^2-y^2/b^2=1,得
(x1)^2/a^2-(y1)^2/b^2=1 (*)
(x1)^2/a^2-(y1)^2/b^2=1 (#)
点差法:(*)式-(#)式,得
(x1+x2)(x1-x2)/a^2-(y1+y2)(y1-y2)/b^2=0
...

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由题刻设L:y=x+2 B(x1,y1)D(x2,y2)M(1,3)
将BD两点代入x^2/a^2-y^2/b^2=1,得
(x1)^2/a^2-(y1)^2/b^2=1 (*)
(x1)^2/a^2-(y1)^2/b^2=1 (#)
点差法:(*)式-(#)式,得
(x1+x2)(x1-x2)/a^2-(y1+y2)(y1-y2)/b^2=0
式子除(x1-x2),得
(x1+x2)/a^2-(y1+y2)k/b^2=0
k为直线L的斜率,为1所以
(x1+x2)/a^2-(y1+y2)/b^2=0
M为BD中点,所以x1+x2=2 y1+y2=6,代入上式,得
2/a^2-6/b^2=0,化简得:
b^2=3a^2
a^2+b^2=c^2
联立得
c^2=4a^2
所以e2=4
即e^2=2

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