椭圆x^/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的四个顶点为A,B,C,D,若四边形ABCD的内切圆恰好过椭圆的焦点,则椭圆的离心率

椭圆x^/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的四个顶点为A,B,C,D,若四边形ABCD的内切圆恰好过椭圆的焦点,则椭圆的离心率
椭圆x^/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的四个顶点为A,B,C,D,若四边形ABCD的内切圆恰好过椭圆的焦点,则椭圆的离心率

椭圆x^/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的四个顶点为A,B,C,D,若四边形ABCD的内切圆恰好过椭圆的焦点,则椭圆的离心率
设椭圆的四个顶点分别为A(-a,0),B(0,b),C(a,0),D(0,-b)
则四边形四条边的方程分别为：
AB：y=b/a*(x+a),即bx-ay+ab=0
BC：y=-b/a*(x-a),即bx+ay-ab=0
CD：y=b/a*(x-a),即bx-ay-ab=0
AD：y=-b/a*(x+a),即bx+ay+ab=0
由椭圆的对称性可知,内切圆的圆心在原点
则圆心到四边的距离相等,均为内切圆半径r
而内切圆过椭圆焦点,∴r=c
取上述任意一条边求半径,有：
r=|ab|/√(a^2+b^2)=ab/√(a^2+b^2)=c
a^2b^2/(a^2+b^2)=c^2
b^2/(a^2+b^2)=c^2/a^2
(a^2-c^2)/(2a^2-c^2)=c^2/a^2
(1-c^2/a^2)/(2-c^2/a^2)=c^2/a^2
(1-e^2)/(2-e^2)=e^2
1-e^2=2e^2-e^4
e^4-3e^2+1=0
e^2=(3-√5)/2 (另一解e^2=(3+√5)/2>1舍弃,因椭圆0