求抛物线y=x²+1和直线x-y-3=0之间的最短距离.

求抛物线y=x²+1和直线x-y-3=0之间的最短距离.
求抛物线y=x²+1和直线x-y-3=0之间的最短距离.

求抛物线y=x²+1和直线x-y-3=0之间的最短距离.

抛物线y'=2x; 直线y=x-3 2x=1 x=1/2
抛物线上点（1/2,5/4）到直线距离最短，最短距离D=abs（1/2-5/4-3）/根号2=八分之15倍根号2

设抛物线上一点P(m,m^2+1)到直线的距离最短,则有过P的切线平行于直线
故有y'=2x
所以有切线的斜率k=y'=2m=1, m=1/2
即P坐标是(1/2,5/4)
故最短距离是d=|1/2-5/4-3|/根号(1+1)=(15/4)/根号2=15根号2/8

设与该直线平行的另一条与抛物线相切的直线为x-y+c=0,代入抛物线
x²-x+1-c=0
Δ=1-4×（1-c)=0
c=3/4
所以，直线方程为x-y+3/4=0
两直线距离=（3+3/4)/根号2
=（15根号2）/8
即为所求。
希望对你有所帮助O(∩_∩)O~

当x－y＋m＝0与抛物线y＝x^2＋1相切时，直线x－y＋m＝0与x－y－3＝0的距离就是抛物线与直线x－y－3＝0之间最短的距离。
∵x－y＋m＝0与y＝x^2＋1相切，∴x＋m＝x^2＋1有等根，即x^2－x＋1－m＝0有等根，
∴1－4（1－m）＝0，∴1－4＋4m＝0，∴m＝3/4。
显然，点（3，0）是直线x－y－3＝0上的一点，
点（3，0）到直线x－y...

全部展开

当x－y＋m＝0与抛物线y＝x^2＋1相切时，直线x－y＋m＝0与x－y－3＝0的距离就是抛物线与直线x－y－3＝0之间最短的距离。
∵x－y＋m＝0与y＝x^2＋1相切，∴x＋m＝x^2＋1有等根，即x^2－x＋1－m＝0有等根，
∴1－4（1－m）＝0，∴1－4＋4m＝0，∴m＝3/4。
显然，点（3，0）是直线x－y－3＝0上的一点，
点（3，0）到直线x－y＋3/4＝0的距离＝｜3＋3/4｜/√（1＋1）＝15/（4√2）＝15√2/8。
∴给定的抛物线与给定的直线间的最短距离为15√2/8。

收起

设与y=x²+1相切且平等于直线x-y-3=0的直线方程为：
y=x+b
解y=x²+1和y=x+b得
x²-x+1-b=0
1-4(1-b)=0
b=3/4
y=x+3/4
解y=x²+1,y=x+3/4得
x=1/2,y=5/4
切点yl(1/2,5/4)
最短距离d=绝对值（1/2-5/4-3）/根号2＝15根号2/8