平面直角坐标系中,点O是坐标原点,抛物线y=ax^2—(16/3)x过点A(2,-8),且与x轴交于O,B两点,动点P从O点出发以每秒3个单位的速度在射线OB上运动,同时动点Q从点A出发以每秒m个单位的速度在线段
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/26 10:19:11
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平面直角坐标系中,点O是坐标原点,抛物线y=ax^2—(16/3)x过点A(2,-8),且与x轴交于O,B两点,动点P从O点出发以每秒3个单位的速度在射线OB上运动,同时动点Q从点A出发以每秒m个单位的速度在线段
平面直角坐标系中,点O是坐标原点,抛物线y=ax^2—(16/3)x过点A(2,-8),且与x轴交于O,B两点,动点P从O点出发以每秒3个单位的速度在射线OB上运动,同时动点Q从点A出发以每秒m个单位的速度在线段AB上运动.过点P做PC∥AB交直线与点C,设运动时间为t秒.
a=2/3
若m=2,并以点A为圆心,AQ为半径做圆A,当直线PC与圆A相切时,求t的值
平面直角坐标系中,点O是坐标原点,抛物线y=ax^2—(16/3)x过点A(2,-8),且与x轴交于O,B两点,动点P从O点出发以每秒3个单位的速度在射线OB上运动,同时动点Q从点A出发以每秒m个单位的速度在线段
令y=(2/3)x²-(16/3)x=(x/3)(2x-16)=0,得x₁=0,x₂=8;故B(8,0);A(2,-8);故AB所在
直线的斜率KAB=(-8-0)/(2-8)=4/3,故其方程为y=(4/3)(x-8);PC∥AB,故PC所在直线的斜率KAC=KAB=4/3;在运动t秒后,OP=3t,即P点的坐标为(3t,0);故PC所在直线的方程为
y=(4/3)(x-3t),写成一般形式就是4x-3y-12t=0.(1)
因为m=2,故运动t秒后︱AQ︱=2t;于是以A为圆心,︱AQ︱为半径的圆的方程为:
(x-2)²+(y+8)²=4t².(2)
圆(2)与直线(1)相切,因此圆心(2,-8)到直线(1)的距离=圆半径2t,于是得等式:
︱8+24-12t︱/√(4²+3²)=︱32-12t︱/5=2t,即有︱32-12t︱=10t,32-12t=±10t;
由32-12t=10t,得t=32/22=16/11(秒);由32-12t=-10t,得t=16秒(不合理,应舍去);
即当t=(16/11)秒时以A为圆心,以AQ为半径的圆与直线PC相切.
(1)由题意直线AC与x轴的交点为A,
所以当y=0,则x=-6,
所以点A(-6,0).
同理点C(0,8),
由题意,A、B是抛物线y=ax2+bx+8与x轴的交点,
∴-6,x0是一元二次方程ax2+bx+8=0的两个根,
∴-6+x0=-b a ,-6x0=8 a ,
∴a=-4 3x0 ,b=-8 x0 +4 3 .
∵A、...
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(1)由题意直线AC与x轴的交点为A,
所以当y=0,则x=-6,
所以点A(-6,0).
同理点C(0,8),
由题意,A、B是抛物线y=ax2+bx+8与x轴的交点,
∴-6,x0是一元二次方程ax2+bx+8=0的两个根,
∴-6+x0=-b a ,-6x0=8 a ,
∴a=-4 3x0 ,b=-8 x0 +4 3 .
∵A、B点关于抛物线对称,∴BC所在直线与对称轴的交点即为P0.
设直线BC的解析式为y=mx+n,则n=8,mx0+n=0,
∴m=-8 x0 ,n=8.
∴BC的解析式为y=-8 x0 x+8.
∴当x=-b 2a =-6+x0 2 时,y=24 x0 +4,
∴P0的坐标为(-6+x0 2 ,24 x0 +4);
(2)由(1)可知三角形PAC最小即为AC+BC=10+2 41 ,
62+82 + x 20 +82 =10+2 41 ,
解得x0=10或x0=-10(不符舍去),
则点B(10,0),
由点A,B,C三点的二次函数式为y=-2 15 x2 +8 15 x+8=-2 15 (x-2)2+128 15 .
顶点N(2,128 15 );
(3)如图,作MN⊥BC于点N,
则△OBC∽△NCM,
所以h 10 =2t 2 41 ,
即h=10 41 t 41 .
因为MH∥BC,
所以8-2t 8 =MH BC ,
解得MH=8-2t 8 BC=8-2t 8 ×2 41 = 41 4 (8-2t),
S=1 2 MHh,
=1 2 × 41 4 (8-2t)×10 41 t 41 ,
=10t-5 2 t2,
因为每秒移动2个单位,
则当t=2时符合范围0<t<4,
所以当t为2时S最大为10;
(4)把S的取值代入(3)中表达式中求得t,
从而得到点M的坐标,
S=75 32 ,即75 32 =-5 2 t2+10t,
则解得t1=1 4 ,t2=15 4 .
则由题意知CEF三点所在圆半径为4,
所以直线CN与CFE所在圆相切.
收起