(1)函数fx,x属于R,若对于任意实数a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b).求证:f(x)为奇函数.(2)函数fx,x属于R,若对于任意实数x1,x2,都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)*f(x2).求证:fx为偶函数.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 00:31:17
![(1)函数fx,x属于R,若对于任意实数a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b).求证:f(x)为奇函数.(2)函数fx,x属于R,若对于任意实数x1,x2,都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)*f(x2).求证:fx为偶函数.](/uploads/image/z/5272491-3-1.jpg?t=%EF%BC%881%EF%BC%89%E5%87%BD%E6%95%B0fx%2Cx%E5%B1%9E%E4%BA%8ER%2C%E8%8B%A5%E5%AF%B9%E4%BA%8E%E4%BB%BB%E6%84%8F%E5%AE%9E%E6%95%B0a%2Cb%E9%83%BD%E6%9C%89f%28a%2Bb%29%3Df%28a%29%2Bf%28b%29.%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9Af%28x%29%E4%B8%BA%E5%A5%87%E5%87%BD%E6%95%B0.%EF%BC%882%EF%BC%89%E5%87%BD%E6%95%B0fx%2Cx%E5%B1%9E%E4%BA%8ER%2C%E8%8B%A5%E5%AF%B9%E4%BA%8E%E4%BB%BB%E6%84%8F%E5%AE%9E%E6%95%B0x1%2Cx2%2C%E9%83%BD%E6%9C%89f%EF%BC%88x1%2Bx2%EF%BC%89%2Bf%EF%BC%88x1-x2%EF%BC%89%3D2f%28x1%EF%BC%89%2Af%28x2%EF%BC%89.%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9Afx%E4%B8%BA%E5%81%B6%E5%87%BD%E6%95%B0.)
(1)函数fx,x属于R,若对于任意实数a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b).求证:f(x)为奇函数.(2)函数fx,x属于R,若对于任意实数x1,x2,都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)*f(x2).求证:fx为偶函数.
(1)函数fx,x属于R,若对于任意实数a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b).求证:f(x)为奇函数.
(2)函数fx,x属于R,若对于任意实数x1,x2,都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)*f(x2).求证:fx为偶函数.
(1)函数fx,x属于R,若对于任意实数a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b).求证:f(x)为奇函数.(2)函数fx,x属于R,若对于任意实数x1,x2,都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)*f(x2).求证:fx为偶函数.
(1)令a=b=0,则f(0+0)=f(0)+f(0),即f(0)=0;
再令a=-b,则有f(0)=f(a)+f(-a),即f(-a)=-f(a);
根据奇函数的定义得证.
(2)方法大同小异,首先令x1=x2=0,其次令x1=0(或是x2=0),x2(或是x1)保持不变就好了.
解决此类抽象函数问题,注意题中“任意”二字,相当重要,同时希望深刻理解奇偶函数的概念.
设X2=0
则f(x1)=f(x1)f(0)
所以(1-f(0))f(x1)=0
如果f(x1)=0(因为x1是任意取的)
那就说明f(x)=0恒成立,显然,这是个偶函数
如果1-f(0)=0
则f(0)=1
设x1=0
则f(x2)+f(-x2)=2f(x2)
得到f(x2)=f(-x2)
因为x2是任意取值的
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设X2=0
则f(x1)=f(x1)f(0)
所以(1-f(0))f(x1)=0
如果f(x1)=0(因为x1是任意取的)
那就说明f(x)=0恒成立,显然,这是个偶函数
如果1-f(0)=0
则f(0)=1
设x1=0
则f(x2)+f(-x2)=2f(x2)
得到f(x2)=f(-x2)
因为x2是任意取值的
所以f(x)=f(-x)
所以f(x)是偶函数
综上 f(x)是偶函数
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