若椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>1)内有圆x^2+y^2=1,该圆的切线与椭圆交于A,B两点,且满足向量OA•向量OB=0(其中O为坐标原点),则9a^2+16b^2的最小值是?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/29 01:35:23
![若椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>1)内有圆x^2+y^2=1,该圆的切线与椭圆交于A,B两点,且满足向量OA•向量OB=0(其中O为坐标原点),则9a^2+16b^2的最小值是?](/uploads/image/z/5301852-60-2.jpg?t=%E8%8B%A5%E6%A4%AD%E5%9C%86x%5E2%2Fa%5E2%2By%5E2%2Fb%5E2%3D1%28a%3Eb%3E1%29%E5%86%85%E6%9C%89%E5%9C%86x%5E2%2By%5E2%3D1%2C%E8%AF%A5%E5%9C%86%E7%9A%84%E5%88%87%E7%BA%BF%E4%B8%8E%E6%A4%AD%E5%9C%86%E4%BA%A4%E4%BA%8EA%2CB%E4%B8%A4%E7%82%B9%2C%E4%B8%94%E6%BB%A1%E8%B6%B3%E5%90%91%E9%87%8FOA%26%238226%3B%E5%90%91%E9%87%8FOB%3D0%EF%BC%88%E5%85%B6%E4%B8%ADO%E4%B8%BA%E5%9D%90%E6%A0%87%E5%8E%9F%E7%82%B9%EF%BC%89%2C%E5%88%999a%5E2%2B16b%5E2%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC%E6%98%AF%3F)
若椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>1)内有圆x^2+y^2=1,该圆的切线与椭圆交于A,B两点,且满足向量OA•向量OB=0(其中O为坐标原点),则9a^2+16b^2的最小值是?
若椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>1)内有圆x^2+y^2=1,该圆的切线与椭圆交于A,B两点,
且满足向量OA•向量OB=0(其中O为坐标原点),则9a^2+16b^2的最小值是?
若椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>1)内有圆x^2+y^2=1,该圆的切线与椭圆交于A,B两点,且满足向量OA•向量OB=0(其中O为坐标原点),则9a^2+16b^2的最小值是?
解析:设切线方程为y=kx+m
带入椭圆方程得关于x的一元二次方程
韦达定理
x1+x2=-2kma2/(a2k2+b2)
x1x2=a2(m2-b2)/(a2k2+b2)
OA*OB=0
所以x1x2+y1y2=x1x2+k2x1x2+km(x1+x2)+m2=0
所以(k2+1)a2(m2-b2)-2k2m2a2+m2(a2k2+b2)=0
所以a2(m2-b2k2-b2)+m2b2=0 ***
因为y=kx+m是单位圆的切线,
所以|m|/√(k2+1)=1
即m2=k2+1
带入***式子
a2(1-b2)m2+m2b2=0
所以a2+b2=a2b2 由于a>b,所以a2b2=a2+b2>2b2→a2>2
得b2=a2/(a2-1)=1+1/(a2-1)
带入得9a2+16b2=9a2+16/(a2-1)+16=9(a2-1)+16/(a2-1)+25
>=2√9*16+25=49
当且仅当a2-1=4/3时取到最大值
a^2=4,b^2=1,c^2=3。所以焦点坐标为(0,√3)、(0,-√3),离心率e=√3/2。设直线为y=kx+m,因为直线与圆相切,所以|m|/√(k +1)=1