若椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>1)内有圆x^2+y^2=1,该圆的切线与椭圆交于A,B两点,且满足向量OA•向量OB=0（其中O为坐标原点）,则9a^2+16b^2的最小值是?

若椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>1)内有圆x^2+y^2=1,该圆的切线与椭圆交于A,B两点,且满足向量OA•向量OB=0（其中O为坐标原点）,则9a^2+16b^2的最小值是?
若椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>1)内有圆x^2+y^2=1,该圆的切线与椭圆交于A,B两点,
且满足向量OA•向量OB=0（其中O为坐标原点）,则9a^2+16b^2的最小值是?

若椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>1)内有圆x^2+y^2=1,该圆的切线与椭圆交于A,B两点,且满足向量OA•向量OB=0（其中O为坐标原点）,则9a^2+16b^2的最小值是?
解析：设切线方程为y=kx+m
带入椭圆方程得关于x的一元二次方程
韦达定理
x1+x2=-2kma2/(a2k2+b2)
x1x2=a2(m2-b2)/(a2k2+b2)
OA*OB=0
所以x1x2+y1y2=x1x2+k2x1x2+km(x1+x2)+m2=0
所以(k2+1)a2(m2-b2)-2k2m2a2+m2(a2k2+b2)=0
所以a2(m2-b2k2-b2)+m2b2=0 ***
因为y=kx+m是单位圆的切线,
所以|m|/√(k2+1)=1
即m2=k2+1
带入***式子
a2(1-b2)m2+m2b2=0
所以a2+b2=a2b2 由于a>b,所以a2b2=a2+b2>2b2→a2>2
得b2=a2/(a2-1)=1+1/(a2-1)
带入得9a2+16b2=9a2+16/(a2-1)+16=9(a2-1)+16/(a2-1)+25
>=2√9*16+25=49
当且仅当a2-1=4/3时取到最大值

a^2=4，b^2=1，c^2=3。所以焦点坐标为(0,√3)、(0,-√3)，离心率e=√3/2。设直线为y=kx+m，因为直线与圆相切，所以|m|/√(k +1)=1