已知椭圆C的方程为X² /2+y²=1,直线L过右焦点F,与椭圆交于M,N两点.当以线段MN为直径的圆过原点时,求直线L的方程.

已知椭圆C的方程为X² /2+y²=1,直线L过右焦点F,与椭圆交于M,N两点.当以线段MN为直径的圆过原点时,求直线L的方程.
已知椭圆C的方程为X² /2+y²=1,直线L过右焦点F,与椭圆交于M,N两点.当以线段MN为直径的圆过原点时,求直线L的方程.

已知椭圆C的方程为X² /2+y²=1,直线L过右焦点F,与椭圆交于M,N两点.当以线段MN为直径的圆过原点时,求直线L的方程.
设直线MN的方程为y=k(x-1),则：
y=k(x-1) ①
x² /2+y²=1 ②
联立①、②,得：
X² +2k²(x-1)²=2
∴(2k²+1)x²-4k²x+2k²-2=0
设以上方程的两根为x1、x2,则
x1+x2=4k²/(2k²+1)
x1x2=(2k²-2)/(2k²+1)
又∵以MN为直径的圆过原点,
∴x1O⊥x2O
∴x1x2+y1y2=0（y1、y2用x1、x2、k表示出来）
解得k=1,所以直线方程式为y=x-1（可以自己算一下）