若椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的焦点在x轴上,过点(1.1/2)作圆x^2+y^2=1的切线切点分别为A,B直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程为多少?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/27 09:24:41
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若椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的焦点在x轴上,过点(1.1/2)作圆x^2+y^2=1的切线切点分别为A,B直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程为多少?
若椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的焦点在x轴上,过点(1.1/2)作圆x^2+y^2=1的切线
切点分别为A,B直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程为多少?
若椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的焦点在x轴上,过点(1.1/2)作圆x^2+y^2=1的切线切点分别为A,B直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程为多少?
令点(1,1/2)为P,则容易证得:PO⊥AB.
而PO的斜率=(1/2-0)/(1-0)=1/2, ∴AB的斜率=-2.
由点P的坐标(1、1/2),圆的方程:x^2+y^2=1,得:
A、B中有一者是圆与x轴的交点,而这个交点的的坐标是(1,0),∴AB过点(1,0).
∴AB的方程为:y=-2(x-1),即:y=-2x+2.
∵椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的焦点在x轴上,∴椭圆的上顶点坐标是(0,b).
∵直线AB过椭圆的上顶点,∴(0,b)满足直线AB的方程,得:b=2,∴b^2=4.
容易得到:椭圆的右焦点坐标是(√(a^2-b^2),0),而直线AB过该点,
∴0=-2√(a^2-b^2)+2=0,∴a^2-b^2=1,∴a^2=1+4=5.
于是,满足条件的椭圆方程是:x^2/5+y^2/4=1.