双曲线 (10 12:42:38)过点P（4,0）,斜率为-1的直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于两点A,B,如果AO⊥BO（O为坐标原点）,求p的值和抛物线焦点坐标.

双曲线 (10 12:42:38)过点P（4,0）,斜率为-1的直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于两点A,B,如果AO⊥BO（O为坐标原点）,求p的值和抛物线焦点坐标.
双曲线 (10 12:42:38)
过点P（4,0）,斜率为-1的直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于两点A,B,如果AO⊥BO（O为坐标原点）,求p的值和抛物线焦点坐标.

双曲线 (10 12:42:38)过点P（4,0）,斜率为-1的直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于两点A,B,如果AO⊥BO（O为坐标原点）,求p的值和抛物线焦点坐标.
先求出直线解析式y=-x+4,然后与抛物线联立方程组,A的坐标用x1y1表示B的坐标用x2y2表示,然后在用设的xy表示OA OB向量,用向量乘法,OAOB向量相乘为零,x1x2=16,x1+x2=8+2p y1y2再用x表示

先写直线方程y+x-4=0,在联立抛物线方程。OA向量点乘OB向量等于0就可以解之

我给你列下方程{y/(x-4)=-1 y^2=2px}根据这两个方程得到{x^2-8x-2px+16=0 y^2+2px-8p=0}根据韦达定理得x1x2=16 y1y2=-8p根据AO⊥BO得x1x2+y1y2=0得p=2焦点（1,0）
另外这个是个结论过(2p,0)或者(0,2p)的点的直线与抛物线交点与原点连线垂直（抛物线顶点为原点）

设A（x1,y1）、B(x2,y2)
向量OA=（x1,y1）向量OB=(x2,y2)
∵AO⊥BO
∴向量OA·向量OB=0
即：（x1,y1）·(x2,y2)=x1x2+y1y2=0
由题可知直线L的方程为：y=-x+4
代入抛物线方程得：x^2-(8+2p)x+16=0
由韦达定理得：x1·x2=16
同理可得：y1·y2=-8...

全部展开

设A（x1,y1）、B(x2,y2)
向量OA=（x1,y1）向量OB=(x2,y2)
∵AO⊥BO
∴向量OA·向量OB=0
即：（x1,y1）·(x2,y2)=x1x2+y1y2=0
由题可知直线L的方程为：y=-x+4
代入抛物线方程得：x^2-(8+2p)x+16=0
由韦达定理得：x1·x2=16
同理可得：y1·y2=-8p
∴向量OA·向量OB=x1x2+y1y2=0
即：16-8p=0 解得：p=2
所以焦点为（1，0）

收起