一道高数题 导数的运算一探照灯与公路最近点P相距500m,一汽车从P点以60km/h沿公路进行,探照灯要随汽车行进照射到汽车上,问当汽车行至1000m处,探照灯转动的角速度如何,方始汽车不脱离照射?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/07/26 06:22:05
一道高数题 导数的运算一探照灯与公路最近点P相距500m,一汽车从P点以60km/h沿公路进行,探照灯要随汽车行进照射到汽车上,问当汽车行至1000m处,探照灯转动的角速度如何,方始汽车不脱离照射?
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一道高数题 导数的运算一探照灯与公路最近点P相距500m,一汽车从P点以60km/h沿公路进行,探照灯要随汽车行进照射到汽车上,问当汽车行至1000m处,探照灯转动的角速度如何,方始汽车不脱离照射?
一道高数题 导数的运算
一探照灯与公路最近点P相距500m,一汽车从P点以60km/h沿公路进行,探照灯要随汽车行进照射到汽车上,问当汽车行至1000m处,探照灯转动的角速度如何,方始汽车不脱离照射?
汽车行进的路程用x表示，角速度用v表示
正确答案是dθ/dt=1/120(rad/s)一楼的好像不太对啊?
我想知道正确过程是什么呢?

一道高数题 导数的运算一探照灯与公路最近点P相距500m,一汽车从P点以60km/h沿公路进行,探照灯要随汽车行进照射到汽车上,问当汽车行至1000m处,探照灯转动的角速度如何,方始汽车不脱离照射?
汽车运动路程为X的时候,探照灯O到公路距离OP=500米,光线与OB的夹角的余弦值为500/√（500^2+X^2）
车子云速行使,将车速分解为沿光线方向和垂直与光线方向的分速度,求得垂直于光线方向的分速度为（60000/3600）*500/√（500^2+X^2）=50000/[6√（500^2+X^2）]米/秒
这是光线与车接触点的圆周运动的线速度,圆周运动半径为√（500^2+X^2）那么角速度=线速度/半径=50000/[6*（500^2+X^2）]
因此当X=1000时,角速度为50000/（6*5*500^2）=1/150弧度/秒
运动了X米时
tanθ=X/500,θ=arctan（X/500）,X=（60000/3600）*t=100t/6
dθ/dt=（dθ/dX）*（dX/dt）={1/[500+500（X/500）^2]} * (100/6)=1/[30+30（X/500）^2]
当X=1000时,代入里面计算得dθ/dt=1/150弧度/秒
所以正确答案就是1/150弧度/秒,两种方法的结果一样,错不了.

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