sin^n x * cos^m x 从0到2pi的定积分 答案看不懂.答案的第一步说“由周期函数的积分性质可得”,然后把积分限换成了-pi到pi ,其余不变.我想问被积函数的周期为什么是pi?答案第二步“当n为奇数时

sin^n x * cos^m x 从0到2pi的定积分 答案看不懂.答案的第一步说“由周期函数的积分性质可得”,然后把积分限换成了-pi到pi ,其余不变.我想问被积函数的周期为什么是pi?答案第二步“当n为奇数时
sin^n x * cos^m x 从0到2pi的定积分 答案看不懂.
答案的第一步说“由周期函数的积分性质可得”,然后把积分限换成了-pi到pi ,其余不变.我想问被积函数的周期为什么是pi?
答案第二步“当n为奇数时,被积函数是奇函数,所以积分等于0” .被积函数为什么是奇函数?sin^n x 和cos^n x的奇偶性结论是什么?
答案第三步“当m为奇数时,m=2k+1” 原式化为sin^n x * (1-xin^2 x)^k dsinx   在-pi到+pi的积分,然后这个式子怎么等于0的?
答案写的太简略啊.T_T

sin^n x * cos^m x 从0到2pi的定积分 答案看不懂.答案的第一步说“由周期函数的积分性质可得”,然后把积分限换成了-pi到pi ,其余不变.我想问被积函数的周期为什么是pi?答案第二步“当n为奇数时
1、周期函数,在任何一个周期内的积分都是一样的；
2、sinx,cosx的周期都是2π,从0到2π的积分,跟从-π到+π的积分,都是覆盖2π区间,
积分的值是一样的；
3、sinx是奇函数,cosx是偶函数,奇函数乘以偶函数,结果是奇函数；
到这里为止,我们就可以下结论了：
奇函数在对称于y轴的区间内积分,为0；
4、楼主的问题：
答案第三步“当m为奇数时,m=2k+1” 原式化为sin^n x * (1-xin^2 x)^k dsinx
在-π到+π的积分等于0.这是为什么?
其实这是一个独立的判断,不需要前面的三条,就可以自行下结论：
第一,m=2k+1的意思就是说,cosx的幂次是奇次；
第二,运用中国人独特的凑微分的方法,将一个cosx放到d的后面,变成dsinx；
第三,剩下的偶次幂的cosx,运用sin²x+cos²x=1的恒等式,变成正弦函数；
第四,这个正弦函数与前面原本的正弦函数相乘,仍然是正弦函数；
第五,一个高次幂的正弦函数,对dsinx积分,结果还是正弦函数；
第六,一个全是由sinx各次幂组成的函数,代入上限2π和下限0后,结果为0.
若不明白,欢迎追问.