作业帮lim x->0 [(1+tanx)^1/2-(1+sinx)^1/2]/[xln(1+x)-x^2]当X趋向于零,一加X的正切的和的平方根减一加X的正弦的和的平方根的差除以X乘以以E为底一加X的和的对数的积减X的平方的差的商,极限是?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/27 09:37:27
![lim x->0 [(1+tanx)^1/2-(1+sinx)^1/2]/[xln(1+x)-x^2]当X趋向于零,一加X的正切的和的平方根减一加X的正弦的和的平方根的差除以X乘以以E为底一加X的和的对数的积减X的平方的差的商,极限是?](/uploads/image/z/5347996-52-6.jpg?t=lim+x-%3E0+%5B%281%2Btanx%29%5E1%2F2-%281%2Bsinx%29%5E1%2F2%5D%2F%5Bxln%281%2Bx%29-x%5E2%5D%E5%BD%93X%E8%B6%8B%E5%90%91%E4%BA%8E%E9%9B%B6%2C%E4%B8%80%E5%8A%A0X%E7%9A%84%E6%AD%A3%E5%88%87%E7%9A%84%E5%92%8C%E7%9A%84%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%A0%B9%E5%87%8F%E4%B8%80%E5%8A%A0X%E7%9A%84%E6%AD%A3%E5%BC%A6%E7%9A%84%E5%92%8C%E7%9A%84%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%A0%B9%E7%9A%84%E5%B7%AE%E9%99%A4%E4%BB%A5X%E4%B9%98%E4%BB%A5%E4%BB%A5E%E4%B8%BA%E5%BA%95%E4%B8%80%E5%8A%A0X%E7%9A%84%E5%92%8C%E7%9A%84%E5%AF%B9%E6%95%B0%E7%9A%84%E7%A7%AF%E5%87%8FX%E7%9A%84%E5%B9%B3%E6%96%B9%E7%9A%84%E5%B7%AE%E7%9A%84%E5%95%86%2C%E6%9E%81%E9%99%90%E6%98%AF%3F)
lim x->0 [(1+tanx)^1/2-(1+sinx)^1/2]/[xln(1+x)-x^2]当X趋向于零,一加X的正切的和的平方根减一加X的正弦的和的平方根的差除以X乘以以E为底一加X的和的对数的积减X的平方的差的商,极限是?
lim x->0 [(1+tanx)^1/2-(1+sinx)^1/2]/[xln(1+x)-x^2]
当X趋向于零,一加X的正切的和的平方根减一加X的正弦的和的平方根的差除以X乘以以E为底一加X的和的对数的积减X的平方的差的商,极限是?
lim x->0 [(1+tanx)^1/2-(1+sinx)^1/2]/[xln(1+x)-x^2]当X趋向于零,一加X的正切的和的平方根减一加X的正弦的和的平方根的差除以X乘以以E为底一加X的和的对数的积减X的平方的差的商,极限是?
上下都乘以（1+tanx)^1/2-(1+sinx)^1/2则,
分子变为（1+tanx)-(1+sinx)=tanx-sinx
分母变为[xln(1+x)-x^2]*[（1+tanx)^1/2+(1+sinx)^1/2]
原式=LIM【(tanx-sinx)/{[xln(1+x)-x^2]*[（1+tanx)^1/2+(1+sinx)^1/2]}
】
=LIM【(tanx-sinx)/[x(ln(1+x)-x)]】*LIM【1/[（1+tanx)^1/2+(1+sinx)^1/2]}】
（由函数的连续性,后一项的极限是1/2）
下面求
LIM【(tanx-sinx)/[x(ln(1+x)-x)]】
由于
tanx-sinx=sinx/cosx-sinx*cosx/cosx=sinx(1-cosx)/cosx
所以
LIM【(tanx-sinx)/[x(ln(1+x)-x)]】=LIM【sinx(1-cosx)/[x(ln(1+x)-x)]/cosx】
=LIM【x^3/(2x(ln(1+x)-x))*1/cosx】（根据等价无穷小）
=LIM【x^2/(ln(1+x)-x)】*LIM(1/cosx)（显然后一项极限是1）
=LIM【2x/[1/(1+x)-1]】（洛比达法则）
=-1
所以原式=-1/2