设a、b∈[0,1],求S=a/(1+b) + b/(1+a) +(1-a)(1-b)的最大值和最小值.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/14 14:48:35
设a、b∈[0,1],求S=a/(1+b) + b/(1+a) +(1-a)(1-b)的最大值和最小值.
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设a、b∈[0,1],求S=a/(1+b) + b/(1+a) +(1-a)(1-b)的最大值和最小值.
设a、b∈[0,1],求S=a/(1+b) + b/(1+a) +(1-a)(1-b)的最大值和最小值.

设a、b∈[0,1],求S=a/(1+b) + b/(1+a) +(1-a)(1-b)的最大值和最小值.
s=1-ab(1-ab)/(1+a)(1+b)
令T=ab(1-ab)/(1+a)(1+b)
T=ab(1-ab)/(1+a+b+ab)<=ab(1-ab)/(1+2√ ab+ab)
令x=√ ab
T<=x²(1-x)(1+x)/(1+x)²
=x²(1-x)/(1+x)
令x²(1-x)/(1+x)=k
则x³-x²+kx+k>=0
设(x-m)²(x-n)=x³-x²+kx+k>=0
则n<=0
2m+n=1
mn+2m+n=0
=> m²+m-1=0(n<=0,m>=0.5)
=>m=(√5-1)/2
n=2-√5
k=(5√5-11)/2
=>T<=(5√5-11)/2
s=1-T>=(13-5√5)/2
当ab=(√5-1)/2时等号成立
s最小值为(13-5√5)/2