y＝sin²x＋2sinxcosx＋1的值域

y＝sin²x＋2sinxcosx＋1的值域
y＝sin²x＋2sinxcosx＋1的值域

y＝sin²x＋2sinxcosx＋1的值域
y=sin²x+2sinxcosx+1
=[1-cos(2x)]/2 +sin(2x) +1
=sin(2x) -(1/2)cos(2x) +3/2
=√[1²+(-1/2)²]sin(2x -θ) +3/2 其中,tanθ=1/2
=(√5/2)sin(2x-θ) +3/2
-1≤sin(2x-θ)≤1
(3-√5)/2≤(√5/2)sin(2x-θ) +3/2≤(3+√5)/2
(3-√5)/2≤y≤(3+√5)/2
函数的值域为[(3-√5)/2,(3+√5)/2].

因为cos2x=1-2sin^2x
故原试=sin2x-1/2cos2x+3/2
=√[1²+(-1/2)²]sin(2x -θ) +3/2 (合二为一）
=(√5/2)sin(2x-θ) +3/2
-1≤sin(2x-θ)≤1
(3-√5)/2≤(√5/2)sin(2x-θ) +3/2≤(3+√5)/2
(3-√5)/2≤y≤(...

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因为cos2x=1-2sin^2x
故原试=sin2x-1/2cos2x+3/2
=√[1²+(-1/2)²]sin(2x -θ) +3/2 (合二为一）
=(√5/2)sin(2x-θ) +3/2
-1≤sin(2x-θ)≤1
(3-√5)/2≤(√5/2)sin(2x-θ) +3/2≤(3+√5)/2
(3-√5)/2≤y≤(3+√5)/2
函数的值域为[(3-√5)/2，(3+√5)/2]。
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