作业帮dy/dx=1/(x+y) 求通解.越简单越好.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/14 20:10:16
dy/dx=1/(x+y) 求通解.越简单越好.
dy/dx=1/(x+y) 求通解.越简单越好.
dy/dx=1/(x+y) 求通解.越简单越好.
答：dy/dx=1/(x+y)
两边取倒数有：dx/dy=x+y
把x看成是y的函数,则有：x'-x=y
齐次方程x'-x=0的特征方程为a-1=0,a=1
所以：
齐次方程x'-x=0的通解为x=Ce^x
设x'-x=y的特解为x*=my+b,x*'=m
代入得：
m-my-b=y
所以：m=-1,b=-1
所以：特解为x*=-y-1
所有：x'-x=y的通解为x=Ce^y-y-1
所以：原微分方程的通解为x=Ce^y -y-1
令u=x+y(u和y都是x的函数)
那么du/dx=dx/dx+dy/dx=1+dy/dx
所以dy/dx=du/dx-1
那么方程dy/dx=1/(x+y)就变为du/dx-1=1/u
即 du/dx=1+1/u=(u+1)/u
在方程两边取倒数，得
dx/du=u/(u+1)=1-1/(u+1)
所以x=∫[1-1/(u+1)]du=∫1...
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令u=x+y(u和y都是x的函数)
那么du/dx=dx/dx+dy/dx=1+dy/dx
所以dy/dx=du/dx-1
那么方程dy/dx=1/(x+y)就变为du/dx-1=1/u
即 du/dx=1+1/u=(u+1)/u
在方程两边取倒数，得
dx/du=u/(u+1)=1-1/(u+1)
所以x=∫[1-1/(u+1)]du=∫1du-∫[1/(u+1)]du=u-ln(u+1)+C,C∈R
所以x=x+y-ln(x+y)+C,C∈R
即方程的通解为隐函数y-ln(x+y)+C=0,C∈R所决定
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