四边形ABCD外切于圆O,求证OA*OC+OB*OD=根号下AB*BC*CD*DA 如题,

四边形ABCD外切于圆O,求证OA*OC+OB*OD=根号下AB*BC*CD*DA 如题,
四边形ABCD外切于圆O,求证OA*OC+OB*OD=根号下AB*BC*CD*DA 如题,

四边形ABCD外切于圆O,求证OA*OC+OB*OD=根号下AB*BC*CD*DA 如题,

设内切圆半径为r,2(α+β+γ+δ)=2π
AO=r/cosα,OC=r/cosγ,OB=r/cosγ,OD=r/cosδ
OA*OC+OB*OD=r²/(cosαcosγ)+ r²/(cosβcosδ)= r²(cosαcosγ+ cosβcosδ)/(cosαcosβcosγcosδ)
AB=AG+GB=rtanα+rtanβ=rsin(α+β)/cosαcosβ
根号下AB*BC*CD*DA=r²根号下(sin(α+β)sin(β+γ)sin(γ+δ)sin(δ+α)/(cos²αcos²βcos²γcos²δ))= r²sin(α+β)sin(β+γ)/(cosαcosβcosγcosδ)
注意到：sin(α+β)sin(β+γ)=sin²β(cosαcosγ)+cos²β(sinαsinγ)+sin(α+γ)sinβcosβ
sin(α+β)sin(β+γ)- cosαcosγ= cos²β(sinαsinγ- cosαcosγ) +sin(α+γ)sinβcosβ=cosβ(-cosβcos(α+γ)+sinβsin(α+γ))=-cosβcos(α+β+γ)= cosβcosδ
故cosαcosγ+ cosβcosδ= sin(α+β)sin(β+γ)
故命题成立
这种题目用把内心的四个角设出来,最简单.没有比这更简单的解法了.
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已知ABCD外切于园O